Заказать решение ТОЭ

Новости

11 октября 2015г.
Магнитное поле, индуктивность
01 октября 2015г.
Электроемкость Емкость конденсатора
09 сентября 2015г.
Катушки и трансформаторы со стальными сердечниками
09 сентября 2015г.
ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
09 сентября 2015г.
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
05 октября 2014г.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2 РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА Пермь ПГТУ ПНИПУ
05 октября 2014г.
Кузнецова Т.А., Кулютникова Е.А., Кухарчук И.Б. РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ. Контрольные задания и методические указания к самостоятельной работе по курсам «Основы теории цепей», «Общая электротехника», «Теоретические основы электротехники»

Контактные данные

Решение задач ТОЭ

Вконтакте

Решение ТОЭ онлайн

rgr-toe@mail.rurgr-toe@ya.ru
Главная Примеры решения задач ТОЭ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ – МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ 2 Магнитное поле и магнитные цепи при постоянных токах 2.1 Методы расчета магнитных цепей постоянного тока

2.1 Методы расчета магнитных цепей постоянного тока

Методы и примеры решения задач ТОЭ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ – МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ 2 Магнитное поле и магнитные цепи при постоянных токах

Расчет магнитных цепей при постоянных токах

Основанием к расчету магнитных цепей служат: первый закон Кирхгофа для магнитных цепей и закон полного тока – второй закон Кирхгофа для магнитных цепей.
Первый закон Кирхгофа для магнитных цепей
гласит: алгебраическая сумма магнитных потоков в узле магнитной цепи равна нулю.

Закон полного тока применяется к замкнутому контуру, образованному средними магнитными линиями магнитной цепи и имеет вид:

H dl = Iw ,

где

H dl = Hl  – падение магнитного напряжения UM = H·l в контуре;

F= Iw магнитодвижущая сила контура (м. д. с.).

Второй закон Кирхгофа для магнитных цепей сформулируем следующим образом: алгебраическая сумма магнитных напряжений UM = H·l в замкнутом контуре магнитной цепи  ( U M = Hl )  равна алгебраической сумме магнитодвижущих сил F = I·w в том же контуре  ( F = Iw ) :

U M = F

или

Hl = Iw .

Задачи на расчет магнитной цепи могут быть двух видов: прямая задача на расчет магнитной цепи – когда задан поток и требуется рассчитать магнитодвижущую силу (м. д. с.) и обратная задача на расчет магнитной цепи – когда по заданной м. д. с. требуется рассчитать магнитный поток.

В обоих случаях должны быть известны геометрические размеры магнитной цепи и заданы кривые намагничивания ее материалов.

Алгоритм прямой задачи расчета неразветвленной магнитной цепи

Дана конфигурация и геометрические размеры неразветвленной магнитной цепи, кривая (или кривые) намагничивания магнитного материала и магнитный поток или индукция магнитного поля в каком-либо сечении. Требуется найти магнитодвижущую силу, ток или число витков намагничивающей обмотки.

Расчет проводим в соответствии с алгоритмом:

1. Разбиваем магнитную цепь на однородные (из одного магнитного материала) участки постоянного сечения и определяем длины lk и площади поперечного сечения Sk участков. Длины участков (в метрах) берем по средней силовой линии.

2. Исходя из постоянства потока вдоль всей неразветвленной магнитной цепи, по заданному магнитному потоку Ф и сечениям Sk участков находим магнитные индукции на каждом участке:

B k = Ф S k .

Если задана магнитная индукция на каком-либо участке магнитной цепи, то магнитный поток вдоль всей неразветвленной цепи

Ф = Bk·Sk.

3. По найденным магнитным индукциям Bk участков цепи и кривой намагничивания материала k-го участка цепи (например, рис. 2.1, табл. 2.1) определяем напряженности поля Hk на каждом участке магнитной цепи.

Напряженность поля в воздушном зазоре находим по формуле

H возд = B возд μ 0 = B возд 4π 10 7 .

4. Подсчитаем сумму падений магнитных напряжений UMk = Hk·lk вдоль всей магнитной цепи  U Mk = H k l k  и на основании второго закона Кирхгофа для магнитной цепи приравниваем сумме магнитодвижущих сил Fk = Ik·wk вдоль всей магнитной цепи:

H k l k = I k w k .

Основным допущением при расчете является то, что магнитный поток вдоль всей неразветвленной магнитной цепи полагаем неизменным. В действительности не большая часть потока всегда замыкается, минуя основной путь. Этот поток называют потоком рассеяния.


Единицы измерения магнитных величин

B – индукция магнитного поля, Тл (Тесла);

H – напряженность магнитного поля, А/м (Ампер/метр);

Ф – поток индукции магнитного поля, Вб (Вебер);

F = I·w – магнитодвижущая сила (м. д. с.), А (Ампер);

UM = H·l – магнитное напряжение, А (Ампер!).


Константы

μ 0 =4π 10 7 Гн/м – магнитная постоянная.


Кривые намагничивания стали и чугуна

Рис. 2.1 Кривые намагничивания стали и чугуна

Таблица 2.1 – Данные основной кривой намагничивания листовой электротехнической стали Э11

B,

Вб/м2

H, А/м

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,4

140

143

146

149

152

155

158

161

164

167

0,5

171

175

179

183

187

191

195

199

203

207

0,6

211

216

221

226

231

236

241

246

251

256

0,7

261

266

271

276

281

287

293

299

306

312

0,8

318

324

330

337

344

352

360

369

378

387

0,9

397

407

417

427

437

447

458

469

480

491

1,0

502

514

527

541

555

570

585

600

615

631

1,1

647

664

682

701

720

739

759

779

800

821

1,2

843

866

891

918

946

976

1010

1040

1070

1100

1,3

1140

1180

1220

1260

1300

1340

1380

1430

1480

1530

1,4

1580

1640

1710

1780

1860

1950

2050

2150

2260

2380

1,5

2500

2640

2790

2950

3110

3280

3460

3660

3880

4120

1,6

4370

4630

4910

5220

5530

5880

6230

6600

6980

7370

1,7

7780

8200

8630

9070

9630

10100

10600

11100

11600

12200

1,8

12800

13400

14000

14600

15200

15900

16600

17300

18000

18800

1,9

19700

20600

21600

22 600

23600

24600

25600

26800

28200

29600

2,0

31000

32500

34300

36500

39000

42000

45500

49500

54500

59500

Примеры пользования таблицей:

1) При B = 0,80 Вб/м2: H = 318 А/м; при B = 0,85 Вб/м2: H = 352 А/м.

2) При B = 1,13 Вб/м2: H = 701 А/м.


Решение задач на расчет магнитных цепей при постоянных токах

Задача 2.1. На рис. 2.2 изображен разрез трех катушек, по которым проходят токи I1 = 8 А, I2=10 А и I3 = 5 А.

Катушки размещены на стальном сердечнике. Первая катушка (левая) w1 имеет 8 витков, вторая (средняя) w2 – 10 витков и третья (правая) w3 – 6 витков.

Рис. 2.2

Катушки размещены на стальном сердечнике. Первая катушка (левая) w1 имеет 8 витков, вторая (средняя) w2 – 10 витков и третья (правая) w3 – 6 витков. Определить полную магнитодвижущую силу (м. д. с.) по замкнутым контурам а, b, с, d, е, f, показанным на рис. 2.2. Контур е охватывает катушки w'2 с 4 витками и w'3 с 2 витками.

Изменится ли результат решения задачи, если при тех же данных катушки разместить на сердечнике из другого магнитного материала?

Решение

Воспользуемся законом полного тока. Линейный интеграл вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равен алгебраической сумме токов, проходящих сквозь поверхность, ограничиваемую контуром интегрирования,

H dl = Iw .

Пользуясь законом полного тока, найдем:

a H dl = w 1 I 1 =88=64А; b H dl = w 1 I 1 =88=64А; c H dl = w 2 I 2 w 1 I 1 =101088=36А; d H dl = w 1 I 1 w 2 I 2 + w 2 I 2 + w 3 I 3 =88+65=94А; e H dl = w 2 I 2 w 3 I 3 =410+25=50А; f H dl =2 w 3 I 3 =265=60А.

В правой части последнего выражения коэффициент 2 учитывает то обстоятельство, что витки w3 охватываются контуром интегрирования (циркуляции) дважды.

Следует заметить, что при пользовании правилом винта необходимо всегда сопоставлять направление обхода по контуру циркуляции с направлениями токов, пронизывающих поверхность, ограниченную контуром циркуляции.

Результаты решения задачи не изменятся, если катушки разместить на сердечнике из другого магнитного материала, так как м. д. с. определяется только величиной полного тока и не зависит от магнитных свойств вещества.


Задача 2.2. Определить магнитодвижущую силу (прямая задача расчета одноконтурной магнитной цепи), необходимую для получения магнитного потока в 5,9·10–4 Вб в кольцеобразном сердечнике, сечением S = 5 см2. Длина средней линии магнитной индукции l = 25 см.

Определить Н (напряженность магнитного поля в сердечнике) и  μ r   (относительная магнитная проницаемость материала сердечника). Материал сердечника – слаболегированная электротехническая листовая сталь Э11.

Решение

Найдем магнитную индукцию

B= Ф S = 5,9 10 4 5 10 4 =1,18 Вб м 2 .

По кривой намагничивания для стали Э11 найдем, что индукции B = 1,18 Вб/м2 соответствует H = 800 А/м.

Общая магнитодвижущая сила по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока)

F = H·l = 800·0,25 = 200 А.

Определим абсолютную магнитную проницаемость:

μ a = B H = 1,18 800 =1475 10 6 Гн м .

Магнитная проницаемость (относительная магнитная проницаемость)

μ r = μ a μ 0 = 1475 10 6 4π 10 7 =1175.


Задача 2.3. На рис. 2.3 изображен электромагнит, сердечник которого изготовлен из слаболегированной листовой электротехнической стали Э11, а якорь – из литой стали.

Электромагнит, сердечник которого изготовлен из слаболегированной листовой электротехнической стали Э11, а якорь – из литой стали.

Рис. 2.3

Какой ток должен быть пропущен через обмотку электромагнита (прямая задача расчета одноконтурной магнитной цепи), состоящую из w = 500 витков, для того, чтобы в якоре была создана магнитная индукция в 0,84 Вб/м2. Размеры на рис. 2.3 даны в миллиметрах. Длина воздушного зазора δ  = 1 мм. Площадь сечения воздушного зазора считать равной площади сечения сердечника (пренебрегаем потоком рассеяния). Чему равна статическая индуктивность электромагнита?

Решение

Это пример прямой задачи на расчет магнитной цепи. На рис. 2.3 пунктиром проведена средняя линия магнитной индукции (приближенно). Длина проходящей вдоль сердечника части средней линии магнитной индукции abсd = l1 = 0,28 м. Сечение сердечника S1 = 2·2 = 4 см2 = 4·10–4 м2.

Сечение якоря S2 = 2·2,5 = 5 см2 = 5·10–4 м2, длина проходящей через него части средней линии магнитной индукции efgh = l2 = 0,16 м. Магнитная индукция в якоре B2 = 0,84 Вб/м2 (по условию задачи).

Из условия равенства магнитных потоков в якоре и в сердечнике (одноконтурная магнитная цепь, потоком рассеяния пренебрегаем)

Ф1 = B1·S1 = B2·S2

найдем магнитную индукцию в сердечнике:

B 1 = B 2 S 2 S 1 = 0,845 10 4 4 10 4 =1,05 Вб м 2 .

Сечение воздушного зазора, длина проходящей в нем части линии магнитной индукции и магнитная индукция равны:

S 3 =4 10 4 м 2 ; l 3 =2δ=2 10 3 м; B 3 =1,05 Вб м 2 ,

напряженность магнитного поля в воздухе:

H 3 = B 3 μ 0 = 1,05 4π 10 7 =84 10 4 А м .

Общая магнитодвижущая сила по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока)

F = H1·l1 + H2·l2 + H3·l3.

В целях большей наглядности расчеты удобно свести в таблицу, в которой данные для напряженности магнитного поля в отдельных элементах магнитопровода взяты по соответствующим кривым намагничивания. Так, для сердечника, изготовленного из стали Э11, находим, что индукции B1 = 1,05 Вб/м2 соответствует значение напряженности магнитного поля H1 = 570 А/м, а для якоря, изготовленного из литой стали, имеем, что величине B2 = 0,84 Вб/м2 соответствует значение H2 = 540 А/м.

Название участка

Материал

S,

м2

l,

м

B,

Вб/м2

H,

А/м

H·l,

А

Сердечник

Сталь Э11

4·10–4

0,28

1,05

570

160

Якорь

Литая сталь

5·10–4

0,16

0,84

540

85

Воздушный зазор

Воздух

4·10–4

0,002

1,05

84·104

1680

                                                                                                                                     F= H k l k =160+85+1680=1925А.

Искомый ток найдем, пользуясь формулой F = I·w:

I= F w = 1925 500 =3,85А.

Статическая индуктивность электромагнита равна отношению потокосцепления (полного магнитного потока) к току:

L ст = Ψ I = wФ I = 5004,2 10 4 3,85 =0,053Гн=053мГн.


Задача 2.4. Найти магнитную индукцию в якоре электромагнита (обратная задача расчета одноконтурной магнитной цепи), изображенном на рис. 2.3, если на электромагнит намотано w = 250 витков, по которым проходит ток I = 4,4 А. Сердечник изготовлен из листовой электротехнической стали Э11, а якорь – из литой стали. Размеры сердечника и якоря те же, что и в предыдущей задаче. Длина воздушного зазора 0,5 мм. Площадь сечения воздушного зазора считать равной площади сердечника.

Решение

Это пример обратной задачи на расчет магнитной цепи. Для ее решения надо построить кривую зависимости магнитного потока Ф в функции магнитодвижущей силы F и на кривой найти рабочую точку.

Чтобы построить кривую Ф = f (F) будем задаваться различными величинами магнитных потоков Ф, по которым вычисляем соответствующие им значения магнитной индукции B в каждом из участков магнитной цепи. Затем по кривым намагничивания находим напряженность поля H, соответствующую каждому значению индукции B, и, наконец, вычисляем магнитодвижущую силу по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока)

F= H k l k .

Так, например, примем Ф = 3,2·10–4 Вб. Тогда

B серд = Ф S серд = 3,2 10 4 4 10 4 =0,8 Вб м 2 ; B як = Ф S як = 3,2 10 4 5 10 4 =0,64 Вб м 2 ; B заз = B серд =0,8 Вб м 2 .

По кривым намагничивания находим напряженности магнитного поля:

H серд =318 А м ; H як =330 А м ; H заз = B заз μ 0 = 0,8 4π 10 7 =64 10 4 А м .

Магнитодвижущая сила

F= H серд l серд + H як l як + H заз l заз = =3180,28+3300,16+64 10 4 10 3 =780А.

Эта магнитодвижущая сила меньше заданной, которая равна

I·w = 4,4·250 = 1100 А.

Аналогично проводим расчеты для больших значений Ф, которые сведены в следующую таблицу:

Ф,

Вб

Bсерд,

Вб/м2

Нсерд,

А/м

lсерд,

м

Bяк,

Вб/м2

Hяк,

А/м

lяк,

м

Bзаз,

Вб/м2

Hзаз,

А/м

lзаз,

м

F,

А

3,2·10–4

0,8

318

0,28

0,64

330

0,16

0,8

64·104

1·10–3

780

3,6·10–4

0,9

397

0,28

0,72

400

0,16

0,9

72·104

1·10–3

895

4,0·10–4

1,0

502

0,28

0,80

490

0,16

1,0

80·104

1·10–3

1020

4,4·10–4

1,1

647

0,28

0,88

600

0,16

1,1

88·104

1·10–3

1160

Мы остановились на величине Ф = 4,4·10–4 Вб потому, что для этого значения магнитного потока суммарная магнитодвижущая сила равна 1160 А, что больше заданных 1100 А. По данным расчетов построена кривая Ф = f (F) и на ней определена рабочая точка, которая при F = 1100 А соответствует значению магнитного потока в 4,24·10–4 (рис. 2.4).

Определение рабочей точки

Рис. 2.4

Следовательно, искомая индукция в якоре электромагнита

B як = Ф S як = 4,24 10 4 5 10 4 =0,848 Вб м 2 .

Обычно в технических расчетах значения магнитной индукции округляют до сотых долей Вб/м2 (целые сотни гауссов); поэтому считаем Bяк = 0,85 Вб/м2.

Укажем, что задача могла бы быть решена и другим путем – методом проб: суть его состоит в том, что так же, как и выше, задаются некоторым значением магнитного потока Ф, для которого подсчитывают магнитодвижущую силу F. Если она окажется меньше заданной, то берут большие значения Ф до тех пор, пока не получат F больше заданной величины. После этого значения Ф, соответствующие большим и меньшим против заданного значениям F сужают до тех пор, пока для одного из сечений магнитной цепи полученные значения магнитной индукции будут различаться друг от друга не более чем на 0,1 Вб/м2 (1000 Гс). Искомое значение Ф можно затем найти путем интерполирования.

Так, например, задаемся величиной Ф = 3,2·10–4 Вб, которой соответствует магнитодвижущая сила F = 780 А, что меньше заданного значения Fзад = 1100 А. Теперь зададимся Ф' = 4,4·10–4 Вб, для которого найдем F' = 1160 А; это больше заданной величины Fзад. Уменьшаем значение Ф, принимая его, например, равным 4·10–4 Вб; ему соответствует значение F'' = 1020 А, что вновь меньше заданной величины магнитодвижущей силы. Итак, при Ф'' = 4·10–4 Вб: B''як = 0,8 Вб/м2, а при Ф' = 4,4·10–4 Вб: B'як = 0,88 Вб/м2.

Таким образом, значения магнитной индукции B в одном из сечений (в данном случае в якоре) отличаются одно от другого менее, чем на 0,1 Вб/м2 (0,88 – 0,8 = 0.08 Вб/м2).

Окончательное значение магнитного потока найдем линейным интерполированием.

Определение значения магнитного потока линейным интерполированием

Рис. 2.5

Из треугольника MNP (рис. 2.5) имеем:

ΔФ 4,4 10 4 4 10 4 = 11001020 11601020 ,

отсюда

ΔФ=0,23 10 4 Вб,аФ=4 10 4 +0,23 10 4 =4,23 10 4 Вб.

Искомая индукция в якоре

B як = Ф S як = 4,23 10 4 5 10 4 0,85 Вб м 2 .


Задача 2.5. Найти магнитную индукцию в воздушном зазоре тороида (обратная задача расчета одноконтурной магнитной цепи), изготовленного из литой стали (рис. 2.6), если на тороид намотано w = 400 витков, по которым проходит ток I = 4 А. Воздушный зазор = 2 мм. Размеры тороида на рисунке даны в мм.

Найти магнитную индукцию в воздушном зазоре тороида (обратная задача расчета одноконтурной магнитной цепи), изготовленного из литой стали

Рис. 2.6

Решение

Задача может быть решена аналогично предыдущей. Мы здесь укажем, как быстрее всего найти первое приближенное значение магнитного потока. Для этого предполагаем, что вся заданная магнитодвижущая сила F = I·w расходуется на ту часть магнитопровода, которая предполагается имеющей наибольшее магнитное сопротивление. Получаемое при этом значение магнитного потока будет завышено по сравнению с фактическим, ибо в расчете не были учтены магнитные сопротивления других участков цепи.

Полагая в нашем случае, что вся магнитодвижущая сила падает на магнитном сопротивлении воздушного зазора, запишем по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока):

F=Iw= H возд δ= B μ 0 δ,

откуда

B= Iw μ 0 δ = 44004π 10 7 2 10 3 =1,0 Вб м 2 .

Так как это значение индукции, как указано выше, явно завышено, проведем новый расчет для меньшего значения магнитной индукции, например, для 0,8 Вб/м2. По кривой намагничивания для литой стали этой индукции соответствует величина напряженности магнитного поля Hст = 490 А/м.

Общая магнитодвижущая сила по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока) при этом будет равна

F= H ст l ст + H возд δ=4900,785+ 0,8 4π 10 7 2 10 3 =1650А,

что превышает заданную величину 1600 А.

Теперь проведем расчет для еще меньшей индукции B = 0,7 Вб/м2. Для нее по кривой намагничивания напряженность Hст = 380 А/м. Общая магнитодвижущая сила в этом случае будет

F= H ст l ст + H возд δ=4900,785+ 0,7 4π 10 7 2 10 3 =1410А,

что меньше заданной величины 1600 А.

Таким образом, истинная величина индукции находится в пределах от 0,7 до 0,8 Вб/м2. Ее мы найдем интерполированием (рис. 2.7).

Определение индукции в воздушном зазоре интерполированием

Рис. 2.7

Искомая индукция B=0,7+ΔB,гдеΔB  находится из соотношения

ΔB 0,1 = 16001410 16501410 = 190 240 ,

откуда

ΔB= 190 240 0,10,08 Вб м 2 .

Итак, искомая индукция равна 0,78 Вб/м2 (7800 Гс).


Задача 2.6. Определить все магнитные потоки и ток, проходящий через катушку, расположенную на среднем стержне сердечника, если в левом стержне имеется магнитная индукция в 0,95 Вб/м2. Размеры магнитопровода на рис. 2.8 даны в миллиметрах. Материал сердечника – листовая сталь Э11. Число витков катушки w = 500.

Определить все магнитные потоки и ток, проходящий через катушку, расположенную на среднем стержне сердечника, если в левом стержне имеется магнитная индукция в 0,95 Вб/   м² . Размеры магнитопровода на рис. 2.8 даны в миллиметрах. Материал сердечника – листовая сталь Э11. Число витков катушки w = 500.

Рис. 2.8

Решение

Покажем на рисунке средние линии магнитной индукции. По данным задачи найдем их длины:

lA = 60 см; lB = 25 см; lC = 70 см.

Задачи на сложную разветвленную несимметричную магнитную цепь решаются на основании первого и второго законов Кирхгофа для магнитной цепи:

для узла n

                                                ФB = ФA + ФC;                                       (1)

для контура npqn

                                             HB·lB + HC·lC = I·w;                               (2)

для контура npqmn

                                              HC·lCHA·lA = 0.                                 (3)

В уравнениях (2) и (3) HA, HB и HC соответственно напряженности магнитного поля в стержнях A, B и C.

Для магнитной индукции в левом стержне BA = 0,95 Вб/м2 по кривой намагничивания для листовой стали найдем HA = 447 А/м.

Из уравнения (3) получим

H C = H A l A l C = 44760 70 =384 А м .

По кривой намагничивания находим, что H = 384 А/м соответствует индукция BC = 0,89 Вб/м2.

По уравнению (1) получим

Ф B = Ф A + Ф C = B A S A + B C S C = =0,9520 10 4 +0,8920 10 4 =36,8 10 4 Вб.

Следовательно,

B B = Ф B S B = 36,8 10 4 40 10 4 =0,92 Вб м 2 .

Этой индукции по кривой намагничивания соответствует HB = 417 А/м. По уравнению (2) найдем

I·w = HB·lB + HC·lC = 417·0,25 + 384·0,7 = 373 А.

Искомый ток

I= F w = 373 500 0,75А.


Задача 2.7. Магнитная цепь изготовлена из листовой электротехнической стали Э11. На средний стержень сердечника намотана катушка, содержащая w = 930 витков, по которым проходит ток I = 1 А (рис. 2.8). На всем участке A сечение магнитной цепи считать SA = 20 см2, на участке BSB = 40 см2, на участке СSC = 20 см2. Длины средних линий магнитной индукции каждого из участков считать равными: lA = 55 см, lB = 25 см, lC = 80 см.

Найти значения магнитной индукции во всех стержнях.

Решение

Выберем на рис. 2.8 пути средних линий магнитной индукции и запишем уравнения:

для узла n

                                                ФB = ФA + ФC;                                       (1)

для контура npqn

                                             HB·lB + HC·lC = I·w;                                (2)

для контура npqmn

                                              HC·lCHA·lA = 0.                                     (3)

Построим кривые зависимостей

ФA = f1 (HA·lA) = f1 (UMnq);

ФB = f2 (I·wHB·lB) = f2 (UMnq);

ФC = f3 (HC·lC) = f3 (UMnq).

Здесь UMnq – разность скалярных магнитных потенциалов точек n и q, или магнитодвижущая сила между теми же точками.

Для построения кривой f1 задаемся различными величинами магнитных потоков ФA, по которым находим соответствующие им значения магнитной индукции BA, для которых по кривой намагничивания определяем напряженность магнитного поля HA. Беря произведение HA·lA, находим для различных потоков значения магнитных напряжений на участке A. Результаты вычислений сводим в таблицу. Таким же путем производим расчет для построения кривой на участке C. Наконец, для построения кривой f2 (участок B) задаемся значениями ФB и по ним находим BB, HB, HB·lB и разность I·wHB·lB. Указанные вычисления сведены в таблицу.

ФА,

10–4 Вб

BA,

Вб/м2

HA,

А/м

HAlA,

А

ФC,

10–4 Вб

BC,

Вб/м2

HC,

А/м

HClC,

А

ФB,

10–4 Вб

BB,

Вб/м2

HB,

А/м

HBlB,

А

IwHBlB,

А

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

930

10

0,5

171

94

10

0,5

171

137

20

0,5

171

43

887

12

0,6

211

116

12

0,6

211

169

24

0,6

211

53

877

14

0,7

261

143

14

0,7

261

209

28

0,7

261

65

865

16

0,8

318

175

16

0,8

318

254

32

0,8

318

80

850

18

0,9

397

218

18

0,9

397

318

36

0,9

397

99

831

20

1,0

502

276

20

1,0

502

402

40

1,0

502

126

804

22

1,1

647

356

22

1,1

647

518

44

1,1

647

162

768

24

1,2

843

463

24

1,2

843

675

48

1,2

843

210

720

26

1,3

1140

626

26

1,3

1140

913

52

1,3

1140

285

645

28

1,4

1580

870

28

1,4

1580

1265

56

1,4

1580

395

535

30

1,5

2500

1375

30

1,5

2500

2000

60

1,5

2500

625

305

По этим данным построены кривые ФA, ФB, ФC (рис. 2.9).

Определение магнитных потоков разветвленной магнитной цепи построением ампервеберных зависимостей по законам Кирхгофа для магнитной цепи

Рис. 2.9

Так как величины магнитных потоков должны удовлетворять уравнению (1), то проводим еще одну вспомогательную кривую ФB = ФA + ФC; она строится путем суммирования ординат кривых ФA и ФC для одних и тех же значений абсцисс. Точка m ее пересечения с кривой ФB = f2 (I·wHB·lB) определяет величину искомого потока

ФB = 50,4·10–4 Вб.

Перпендикуляр mm', опущенный из m на ось абсцисс, пересечет кривую ФA в точке n, а кривую ФC – в точке p, отрезок nm' выражает искомый магнитный поток в стержне A:

ФA = 26,4·10–4 Вб, а отрезок pm' – поток ФC = 24·10–4 Вб.

По найденным потокам находим магнитные индукции в каждом из стержней:

B A = Ф A S A = 26,4 10 4 20 10 4 =1,32 Вб м 2 ; B B = Ф B S B = 50,4 10 4 40 10 4 =1,26 Вб м 2 ; B C = Ф C S C = 24,0 10 4 20 10 4 =1,20 Вб м 2 .

Проверка. Можно убедиться, что при найденных значениях магнитных индукций удовлетворяются уравнения (1) – (3). Для этого по кривой намагничивания надо найти для каждого значения B соответствующее значение H и подставить в указанные уравнения.


Задача 2.8. Сердечник собран из листов электротехнической стали марки Э11. Форма и размеры сердечника (в мм) указаны на рис. 2.10.

Сердечник собран из листов электротехнической стали марки Э11

Рис. 2.10

Обмотка имеет w = 400 витков, по которым проходит ток I = 3,5 А. Длина воздушного зазора составляет 1 мм. Определить магнитный поток в сердечнике. При расчете следует считать, что сечение воздушного зазора равно сечению сердечника.

Задачу решить следующими аналитическими методами: а) линейной аппроксимации, б) кусочно-линейной аппроксимации, в) дробно-линейной аппроксимации.

Результаты, полученные для каждого из случаев, сравнить с теми, какие получаются при решении задачи обычным способом.

Решение

Найдем длину средней линии магнитной индукции и сечение стального сердечника (рис. 2.10):

l1 = 2· (90 – 8) + 2· (46 – 8) = 240 мм = 0,24 м;

S1 = 8·5 = 40 мм2 = 0,4·10–4 м2.

Длина средней линии магнитной индукции в воздушном зазоре и его сечение равны:

l2 = 1 мм = 1·10–3 м;

S2 = 8·5 = 40 мм2 = 0,4·10–4 м2.

Решая задачу способом, указанным в решении задачи 2.4, найдем магнитную индукцию B = 1,35 Вб/м2 и соответствующий магнитный поток

Ф = B·S = 1,35·0,4·10–4 = 0,54·10–4 Вб.

а) Расчет магнитной цепи методом линейной аппроксимации кривой намагничивания

Здесь расчет магнитной цепи основан на замене рабочей части кривой намагничивания прямой линией в некоторой области изменения магнитной индукции. Примем, например, что магнитная индукция изменяется в пределах от нуля до 1,5 Вб/м2. Заменим кривую намагничивания (рис. 2.11) прямой линией 0b.

К расчету магнитной цепи методом кусочно-линейной аппроксимации кривой намагничивания

Рис. 2.11

Ее уравнение B = k1·H, здесь коэффициент k1 равен тангенсу угла наклона прямой 0b к оси абсцисс и выражает приближенное значение абсолютной магнитной проницаемости стали в рассматриваемом интервале

μ a1 = μ r1 μ 0 = k 1 = B H = 1,5 2500 =6 10 4 Гн м .

Искомый магнитный поток определяем по уравнению:

Ф= Iw R M1 + R M2 ,

где

R M1 = l 1 μ a1 S 1 = l 1 μ r1 μ 0 S 1 ; R M2 = l 2 μ 0 S 2магнитные сопротивления, соответственно стальной части и воздушного зазора.

Производим вычисления:

R M1 = l 1 μ a1 S 1 = 0,24 6 10 4 0,4 10 4 =1,0 10 7 1 Гн ; R M2 = l 2 μ 0 S 2 = 1 10 3 4π 10 7 0,4 10 4 =1,98 10 7 1 Гн ; Ф= Iw R M1 + R M2 = 3,5400 1,0 10 7 +1,98 10 7 =0,47 10 7 Вб.

Ошибка в сравнении с результатами, полученными обычным способом, составляет

0,54 10 4 0,47 10 4 0,54 10 4 100%13%.

б) Расчет магнитной цепи методом кусочно-линейной аппроксимации кривой намагничивания

Здесь расчет магнитной цепи основан на замене рабочей части кривой намагничивания отрезками прямых линий, например, из двух прямых отрезков 0a и ab (рис. 2.11).

Предполагается, что рабочий режим лежит в области индукций между B1 и B2, соответствующих точкам a и b.

Уравнение прямой ab, выражающей зависимость магнитной индукции от напряженности магнитного поля в стали, имеет вид:

B ст = B 1 + k 2 ( H ст H 1 ),                (1)

где k2 — тангенс угла наклона прямой ab с осью абсцисс:

k 2 = B 2 B 1 H 2 H 1 .                    (2)

Напряженность магнитного поля в воздухе может быть выражена следующим образом:

H в = B в μ 0 = Ф μ 0 S 2 = B ст S 1 μ 0 S 2 = B ст μ 0 ,     (3)

где ради краткости обозначено

μ 0 = μ 0 S 2 S 1 .                (4)

Подставляя в уравнение (3) вместо Bст его значение из уравнения (1), получим:

H в =[ B 1 + k 2 ( H ст H 1 ) ] 1 μ 0 .     (5)

Для определения Hст воспользуемся уравнением второго закона Кирхгофа для магнитной цепи (законом полного тока)

Hст·l1 + Hв·l2 = I·w.          (6)

Подставляя в уравнение (6) значение Нв из уравнения (5), будем иметь:

H ст l 1 + B 1 l 2 μ 0 + k 2 l 2 μ 0 ( H ст H 1 )=Iw.

Решая это алгебраическое уравнение относительно Hст, найдем:

H ст = Iw μ 0 B l 2 μ 0 l 1 + k 2 l 2 ,       (7)

где

B = B 1 k 2 H 1 .           (8)

Величина магнитной индукции в стали находится путем подстановки найденного значения Hс в уравнение (1):

B ст = μ 0 Iw k 2 + B l 1 μ 0 l 1 + k 2 l 2 ,        (9)

Для нашей задачи выберем ломаную так, что:

в точке a

B1 = 1,2 Вб/м2, соответствующее H1 = 843 А/м,

в точке b

B2 = 1,5 Вб/м2, соответствующее H2 = 2500 А/м.

По формулам (2), (4), (8), (7) и (1) находим:

k 2 = B 2 B 1 H 2 H 1 = 1,51,2 2500843 =18,15 10 5 Гн м ; μ 0 = μ 0 S 2 S 1 = μ 0 0,4 10 4 0,4 10 4 = μ 0 =4π 10 7 Гн м ; B = B 1 k 2 H 1 =1,218,15 10 5 843=1,05 Вб м 2 ; H ст = Iw μ 0 B l 2 μ 0 l 1 + k 2 l 2 = 3,54004π 10 7 1,051 10 3 4π 10 7 0,24+18,15 10 5 1 10 3 =1470 А м ; B ст = B 1 + k 2 ( H ст H 1 )=1,2+18,15 10 5 ( 1470843 )=1,314 Вб м 2 .

И, наконец, искомый поток

Ф = Bст·S1 = 1,314·0,4·10–4 = 0,525·10–4 Вб.

Ошибка по сравнению с обычным способом расчета составляет

0,54 10 4 0,525 10 4 0,54 10 4 100%3%.

в) Расчет магнитной цепи методом дробно-линейной аппроксимации кривой намагничивания

Дробно-линейная аппроксимация делается посредством уравнения:

B ст = H ст α+β H ст .          (10)

Входящие сюда коэффициенты αиβ  находятся из известных значений магнитной индукции и напряженности магнитного поля в двух выбранных точках кривой намагничивания, между которыми ожидается действительный режим работы стального участка магнитной цепи.

Для определения Нст поступим следующим образом: из уравнения (10) значение Вст подставим в уравнение (3), тогда получим:

H в = B ст μ 0 = H ст μ 0 ( α+β H ст ) .

Это значение Нв подставим в уравнение (6) второго закона Кирхгофа для магнитной цепи (закона полного тока):

H ст l 1 + H ст l 2 μ 0 ( α+β H ст ) =Iw.

Решая относительно Нст это квадратное уравнение, найдем:

H ст = 1 2 ( Iw l 1 1+p q )+ 1 4 ( Iw l 1 1+p q ) 2 + Iw q l 1 .        (11)

Второй корень квадратного уравнения, как не имеющий физического смысла, ввиду того что Нст должна выражаться положительным числом, опущен.

В уравнении (11) введены ради краткости обозначения:

p= l 2 S 1 l 1 S 2 μ 0 α ;q= β α .         (12)

Проведем числовые расчеты для нашей задачи, принимая для B и H те числовые значения, какие они имеют на границах рассматриваемого интервала в указанных выше точках a и b. По уравнению (10) имеем:

1,2= 843 α+β843 ;1,5= 2500 α+β2500 .

Решая эти два уравнения, найдем:

α=213 м Гн ;β=0,581 м 2 Вб .

Далее по формулам (12), (13), (11) и (10) получим:

p= l 2 S 1 l 1 S 2 μ 0 α = 1 10 3 0,4 10 4 0,240,4 10 4 4π 10 7 α 213=15,6; q= β α = 0,581 213 =2,73 10 3 м А ; Iw q l 1 = 3,5400 2,73 10 3 0,24 =2,14 10 6 А 2 м 2 ; 1 2 ( Iw l 1 1+p q )= 1 2 ( 3,5400 0,24 16,6 2,73 10 3 )=125; H ст = 1 2 ( Iw l 1 1+p q )+ [ 1 2 ( Iw l 1 1+p q ) ] 2 + Iw q l 1 = =125+ 125 2 +2,14 10 6 =125+1515=1390 А м ; B ст = H ст α+β H ст = 1390 213+0,5811390 =1,363 Вб м 2 .

Искомый магнитный поток равен:

Ф = Bст·S1 = 1,363·0,4·10–4 = 0,545·10–4 Вб.

Ошибка в сравнении с обычным методом расчета магнитных цепей составляет:

0,545 10 4 0,54 10 4 0,545 10 4 100%0,9%.

Отметим, что расчет при помощи дробно-линейной аппроксимации приводит к удовлетворительным результатам даже в тех случаях, когда велико расстояние между граничными точками.

решение задач магнитные цепиметоды расчета магнитных цепейрасчет магнитной цепимагнитная цепьзакон полного тока 

08.08.2012, 31257 просмотров.

Метки