Главная → Новости → Электростатические поля и электрические поля постоянных токов: методические указания и варианты заданий / сост.: А.С. Патрикеев, А.А. Старков. — Пермь: ПГТУ, 2009

Электростатические поля и электрические поля постоянных токов: методические указания и варианты заданий / сост.: А.С. Патрикеев, А.А. Старков. — Пермь: ПГТУ, 2009

Электростатические поля и электрические поля постоянных токов: методические указания и варианты заданий / сост.: А.С. Патрикеев, А.А. Старков. — Пермь: ПГТУ, 2009

Электростатические поля и электрические поля постоянных токов: методические указания и варианты заданий / сост.: А.С. Патрикеев, А.А. Старков. — Пермь: ПГТУ, 2009 Скачать методичку

Цилиндрический двухслойный конденсатор Скачать пример решения

Методические указания и варианты заданий к расчетно-графической работе № 5 по курсу теоретических основ электротехники

Рассматриваются варианты задач по расчету электростатического поля электрического поля постоянного тока. Для успешного решения задач применения метода зеркальных изображений в наиболее типовых вариантах расположения заряженных тел и проводящих поверхностей.

Решение многих задач электростатики, т.е. определение электростатического поля системы покоящихся зарядов, не требующее интегрирования дифференциальных уравнений Лапласа и Пуассона, возможно в тех случаях, когда поле обладает определенной симметрией. При отсутствии таковой обращаются, если это возможно, к приемам, приближающим систему к симметричной. Одним из таких приемов является метод зеркальных изображений, применяемый тогда, когда поле ограничено проводящими поверхностями правильной геометрической формы — например, плоской либо цилиндрической, — а также поверхностями, имеющими геометрически правильную границу раздела между диэлектрическими средами.

Метод практически в разной мере пригоден и для расчетов электрических полей постоянного тока аналогичной структуры, если поменять величины зарядов на токи, а характеристики диэлектрических сред — на характеристики проводников. С некоторыми ограничениями методом пользуются также при расчете магнитных полей постоянных токов.

Эти приемы нашли наибольшее применение при изучении и расчетах электростатических и электрических полей плоскопараллельной структуры, которые изменяются лишь в определенной плоскости и являются функциями только двух координат. В направлении, перпендикулярном этой плоскости, рассматриваемое поле не изменяется.

В дальнейшем изучаются только плоскопараллельные поля, в этом случае плоские границы между средами превращаются в прямые линии, а цилиндрические поверхности — в окружности.

Основой метода зеркальных изображений является поле двух параллельных осей, заряженных равными по величине и обратными по знакам электрическими зарядами. Эта модель позволяет описать поле между проводом и землей (эквипотенциальные поверхности), поле двухпроводной линии, поле параллельных цилиндров различных диаметров, поле анаксиального кабеля.

Метод зеркальных изображений

Сущность метода состоит в том, что вместо поля электрических зарядов, расположенных в однородной среде вблизи границы с другой, проводящей или диэлектрической средой, рассматривается вспомогательное поле в однородной среде. В его создании участвуют как заданные, так и дополнительные заряды, величины и местоположение которых выбираются таким образом, чтобы были удовлетворены граничные условия исходного поля. Если граница раздела между двумя средами плоская, дополнительные (их иногда называют «фиктивными») заряды помещаются там, где находятся зеркальные, в геометрическом смысле, отображения заданных зарядов.

Обоснованием метода зеркальных изображений и правильности полученного в результате его применения решения служит теорема единственности, согласно которой электрические поля в областях, ограниченных геометрически совпадающими поверхностями, тождественны, если одинаковы граничные условия.

Типы задач, решаемых с помощью метода зеркальные изображений

Задача 1

Двухпроводная линия передачи электроэнергии или сигналов связи, расположенная над плоской проводящей средой (земля), причем радиус проводов значительно меньше расстояния между ними и от земли.

Для расчета поля рассматривается вспомогательная система из двух пар проводов (1-3 и 2-4), расположенных в однородной диэлектрической среде, причем каждая пара состоит из истинного и вспомогательного, зеркально отображенного относительно земли провода.

Затем поля от каждой пары проводов слагаются векторно (напряженности) или скалярно (потенциалы), что позволяет ответить на все поставленные в задании вопросы.

Задача 2

Два металлических цилиндра с заданными радиусами R1 и R2 находятся в среде с диэлектрической проницаемостью ε. Известно также расстояние между геометрическими осями цилиндров D.

Для расчета поля необходимо определить положение электрических осей, т.е. их смещение относительно геометрических осей. В соответствии с принятыми обозначениями можно записать следующие соотношения, известные из описания поля двух разноименно заряженных

осей, при которых за цилиндрические поверхности равного потенциала радиусов R1 и R2 принимается радиусы заданных металлических цилиндров:

Решая эту систему уравнений, при условии, что S2 + S1 = D, получим размеры S1, S2 и α, определяющие положение электрических осей.

Задача 3

В конструкции кабеля, внутренняя жила смещена относительно наружной оболочки на заданное расстояние d, причем размеры радиусов R1 и R2 соизмеримы друг с другом, поэтому смещением электрических осей пренебречь нельзя. В соответствии с картиной поля двух разноименно заряженных осей, приняв поверхности внутреннего проводника и наружной оболочки за цилиндрические поверхности равного потенциала с известными радиусами, можно написать следующие уравнения:

Учитывая, что S2 –S1 = α (заданная величина), находим расстояния S1, S2 и а, а следовательно и положение электрических осей в точках 1 и 2.

Задача 4

Электрический кабель состоит из тонкого провода и наружной оболочки. Оболочка представляет собой полуцилиндрическую и плоскую поверхность.

Если радиус внутреннего провода R1 много меньше расстояния его от оболочки кабеля, смещением электрической оси внутреннего провода можно пренебречь.

Положение дополнительных зарядов рассчитывается из условий теоремы единственности решения и ее следствий. Заряд в т.2 определится как зеркально отраженный заданному заряду +τ в т.1 относительно плоской проводящей поверхности. Заряд –τ в т.3 определится из соотношения (S-α) (S+α)=R22. Основанием для этого служат расчетные формулы для линий равного потенциала в системе двух тонких равноименно заряженных осей (задачи 2 и 3). Для выполнения граничных условий заряду –τ в т.3 должен соответствовать зеркально отраженный относительно плоской стенки заряд +τ, помещенный в т.4. В этом легко убедиться, построив векторы напряженности от всех четырех зарядов, например в точке А.

В итоге получим четыре тонкие заряженные оси, расположенные в точках 1, 2, 3, 4. Это дает возможность рассчитать искомое электростатическое поле кабеля между жилой и оболочкой.

Задача 5

Полусферический заземлитель находится в земле с удельной проводимостью. На расстоянии h от заземлителя проходит плоская вертикальная граница раздела, за которой земля имеет удельную проводимость. Известен ток, подводимый к заземлителю I. Радиус полусферы заземлителя r0» h.

Расчет всех характеристик электрического поля постоянного тока в средам в удельными проводимостями и производится на основе метода зеркальных изображений относительно горизонтальной границы проводник-диэлектрик а также в соответствии с рекомендациями.

При этом используется метод аналогий между полем электростатики и полем постоянного тока.

Задача 6

Достаточно тонкий проводник радиуса r0 с линейной плотностью электрических зарядов τ1 расположен на биссектрисе угла 60°, образованного проводящими поверхностями на расстоянии α от вершины угла. Радиус проводника намного меньше расстояния его от проводящей поверхности.

Использование метода зеркальных изображений в данной задаче состоит в построении системы зарядов в однородной диэлектрической среде, эквивалентной с точки зрения соблюдения граничных условий заданной системе.

Применяя зеркальное отражение от проводящих поверхностей, находящихся под углом 60°, получим систему из шести заряженных проводов, расположенных симметрично друг другу. Модуль каждого заряда равен заданному, а знаки отраженных зарядов чередуются на противоположные. Если, например, заданный заряд τ1 положителен, то заряды τ3 и τ5 будут также положительными, а заряды τ2, τ4 и τ6 — отрицательными. Расчет поля в пространстве между проводящими поверхностями производится с учетом всех зарядов.

Двужильный кабель с оболочкой, Цилиндрический двухслойный конденсатор, Двухпроводная линия, Коаксиальная линия, Полусферический заземлитель, Цилиндрический анаксиальный кабель, Метод зеркальных изображений