Главная → Теория электрических цепей → Аналитическое решение уравнений состояния

Аналитическое решение уравнений состояния

Аналитическое решение уравнений состояния [f (t)] в t-области при постоянных воздействиях является довольно формальной процедурой, если составлены уравнения состояния (УС)

[f' (t)] = [A]·[f (t)] + [B]·[f₁ (t)]

и рассчитаны независимые начальные условия (ННУ), которые по законам коммутации u_C (0+) = u_C (0–) и i_L (0+) = i_L (0–) определяют начальные значения [f (0+)].

1. Характеристический полином (характеристическое уравнение) находят по формуле

det ([A] — р·[E]) = 0,

где [E] — единичная матрица; корни характеристического уравнения p_k определяют вид свободной составляющей и свободного процесса.

2. Находят вынужденную составляющую (установившуюся составляющую), решая упрощенные матричные уравнения состояния

[0] = [A]·[f_вын (t)] + [B]·[f₁ (t)],

поскольку при постоянных воздействиях:

[f' (t)] = [0]; [f₁ (t)] = [const]

имеем

[f_вын (t)] = [const].

3. Начальные значения производных находят по уравнениям состояния, записанным для момента t =0+, то есть

[f' (0+)] = [A]·[f (0+)] + [B]·[f₁ (0+)].

При необходимости аналогично определяют начальные значения второй производной

[f'' (0+)] = [A]·[f' (0+)] + [B]·[f'₁ (0+)],

третьей производной и т. д.

4. Постоянные интегрирования A_k в решении

$f\left(t\right)=f_{вын}+{\displaystyle \sum _k{A}_k{e}^{p_{k}t}}$

определяют по начальным условиям.

Например, в цепи 2-го порядка для напряжения на конденсаторе

$u_C\left(t\right)=u_{Cвын}+A_1{e}^{p_{1}t}+A_2{e}^{p_{2}t}$

при определении A₁ и A₂ решают систему

$\{\begin{array}{l}{u}_C\left(0+\right)=u_{Cвын}+A_1+A_2;\\ {u^{\prime }}_C\left(0+\right)=0+p_1\cdot A_1+p_2\cdot A_2,\end{array}$

где u_{C вын} = const, u′_{C вын} = 0.

Примечание. При кратных корнях характеристического уравнения и особенно при f₁ (t) = const аналитическое решение уравнений состояния в t-области усложняется (для поиска решения уравнения состояния всегда может быть использован операторный метод анализа цепей). См. также Запись свободной составляющей при различных видах корней характеристического полинома.

Аналитическое решение уравнений состояния