Главная → Теория электрических цепей → Единичная ступенчатая функция

Единичная ступенчатая функция

Единичная ступенчатая функция

Единичная ступенчатая функция δ₁(t) часто обозначаемая как 1(t), — это обобщенная функция вида

${\delta }_1\left(t\right)=\{\begin{array}{l}\mathrm{0,}t<0;\\ \mathrm{0,5,}t=0;\\ \mathrm{1,}t>0.\end{array}$

которая вводится как предел последовательности, например, кусочно-линейных функций φ(t), изменяющихся от 0 до 1 в окрестности Δt момента времени t = 0 (рис. 8), когда эта окрестность «сжимается» до нуля, то есть

${\delta }_1\left(t\right)=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\phi \left(t\right).$

График единичной ступенчатой функции

При этом

${\delta }_1\left(t-t_0\right)=\{\begin{array}{l}\mathrm{0,}t<t_0;\\ \mathrm{0,5,}t=t_0;\\ \mathrm{1,}t>t_0\end{array}$

– смещенная единичная ступенчатая функция, изменяющаяся скачком от 0 до 1 при t = t₀.

Единичная ступенчатая функция — функция безразмерная. Важнейшим является фильтрующее свойство единичной ступенчатой функции

$f\left(t\right)\cdot {\delta }_1\left(t-t_0\right)=\{\begin{array}{l}\mathrm{0,}t<t_0;\\ f\left(t\right),t>t_0,\end{array}$

то есть умножение на δ₁(t — t₀) «обнуляет» результирующий сигнал при t < t₀ и как бы «включает» его при t = t₀.

Применение единичной ступенчатой функции разнообразно (в частности, для компактного, обобщенного описания разрывных и односторонних сигналов).

Для формирования единичной ступенчатой функции можно использовать также иные, абсолютно гладкие последовательности, например, $\phi \left(t\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }arctg\frac{t}{\epsilon }$  при ε → 0, что позволяет расширить семейство стандартных воздействий путем многократного дифференцирования φ(t).

Единичная ступенчатая функция