Интеграл свертки

Интеграл свертки

Интеграл свертки

$f_2\left(t\right)={\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{f}_1\left(\tau \right)\cdot h\left(t-\tau \right)d\tau }$

позволяет при t > 0 найти реакцию f₂(t) при произвольном воздействии f₁(t) (причем f₁ = 0 при t < 0), если известна импульсная характеристика цепи

$h\left(t\right)={h^{\prime }}_1\left(t\right)=\frac{d{h}_1^{*}\left(t\right)}{dt}\cdot {\delta }_1\left(t\right)+h_1\left(0+\right)\cdot \delta \left(t\right)=h_0\left(t\right)+h_1\left(0+\right)\cdot \delta \left(t\right),$

где h₁(t) = h₁^*(t)·δ₁(t) — переходная характеристика; δ₁(t) — единичная ступенчатая функция; τ — переменная интегрирования; t — текущее время (момент наблюдения).  Поскольку t > 0, то все единичные ступенчатые функции под интегралом можно опустить Трудности взятия интеграла свертки возникают, если импульсная характеристика содержит дельта-функцию δ(t). Расчетная формула в этом случае

$f_2\left(t\right)={\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{f}_1\left(\tau \right)\cdot h_0\left(t-\tau \right)d\tau }+h_1\left(0+\right)\cdot f_1\left(t\right),$

где h₀(t) — часть импульсной характеристики, не содержащая единичную импульсную функцию.

При использовании операторного метода проще находить реакцию f₂(t) по ее изображению

F₂(s) = H(s)·F_l(s),

где H(s) — передаточная функция цепи. Интеграл свертки также называют интегралом наложения, выраженным через импульсную характеристику цепи.

Интеграл свертки