Главная → Теория электрических цепей → Комплексные амплитуды, комплексные действующие значения, комплексы действующих значений

Комплексные амплитуды, комплексные действующие значения, комплексы действующих значений

Комплексные амплитуды

Комплексные амплитуды напряжения

${\dot{U}}_m=U_m{e}^{j{\alpha }_u}$

и тока

${\dot{I}}_m=I_m{e}^{j{\alpha }_i}$

при анализе установившегося синусоидального режима соответствуют сигналам синусоидальной формы напряжения

u(t) = U_mcos(ωt + α_u)

и тока

i(t) = I_mcos(ωt + α_i).

Комплексные амплитуды  представляют векторами на комплексной плоскости, как комплексное число (рис. 21)

$\dot{A}=A{e}^{j\gamma }=A\cos \gamma +jA\sin \gamma =a+jb,$

где модуль (длина вектора)

$A=\left|\dot{A}\right|=\sqrt{a^2+b^2},$

фаза

$\gamma =arctg\frac{b}{a},$

действительная часть комплексного числа

$\mathrm{Re}\dot{A}=A\cos \gamma =a,$

мнимая часть комплексного числа

$\mathrm{Im}\dot{A}=A\sin \gamma =b,$

мнимая единица

$j=\sqrt{-1},$

здесь

$$j^2=-\mathrm{1,}j\cdot \left(-j\right)=-j^2=-\left(-1\right)=\mathrm{1,}\frac{1}{j}=\frac{j}{j^2}=\frac{j}{-1}=-j.$$

Сопряженное комплексное число

$\stackrel{*}{A}=A{e}^{-j\gamma }=A\cos \left(-\gamma \right)+jA\sin \left(-\gamma \right)=A\cos \gamma -jA\sin \gamma =a-jb,$

где положительный отсчет угла γ производят против часовой стрелки от «правого горизонта».

Комплексные амплитуды используют при обосновании метода комплексных амплитуд для расчета установившегося синусоидального режима

$\begin{array}{l}u\left(t\right)=\mathrm{Re}{\dot{U}}_m{e}^{j\omega t}=\mathrm{Re}{U}_m{e}^{j{\alpha }_u}{e}^{j\omega t}=\mathrm{Re}{U}_m{e}^{j\left(\omega t+{\alpha }_u\right)}=U_m\cos \left(\omega t+{\alpha }_u\right);\\ i\left(t\right)=\mathrm{Re}{\dot{I}}_m{e}^{j\omega t}=\mathrm{Re}{I}_m{e}^{j{\alpha }_i}{e}^{j\omega t}=\mathrm{Re}{I}_m{e}^{j\left(\omega t+{\alpha }_i\right)}=I_m\cos \left(\omega t+{\alpha }_i\right),\end{array}$

где e^jωt — оператор вращения, ${\dot{U}}_m{e}^{j\omega t},{\dot{I}}_m{e}^{j\omega t}$  – вращающиеся векторы, поскольку их суммарная фаза γ = ωt + α равномерно увеличивается с увеличением времени t.

Комплексные действующие значения или комплексы действующих значений:

комплексное действующее напряжение или комплекс действующего напряжения

$\dot{U}=U{e}^{j{\alpha }_u}=\frac{{\dot{U}}_m}{\sqrt{2}}=\frac{U_m}{\sqrt{2}}{e}^{j{\alpha }_u},$

комплексный действующий ток или комплекс действующего тока

$\dot{I}=I{e}^{j{\alpha }_i}=\frac{{\dot{I}}_m}{\sqrt{2}}=\frac{I_m}{\sqrt{2}}{e}^{j{\alpha }_i}.$

комплексы действующих значений, комплексные действующие значения, Комплексные амплитуды