Главная → Примеры решения задач ТОЭ → РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ → 4 Анализ схем при несинусоидальных периодических воздействиях → 4.1 Алгоритм расчета схем при несинусоидальных периодических воздействиях

4.1 Алгоритм расчета схем при несинусоидальных периодических воздействиях

Методы и примеры решения задач ТОЭ → РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ → 4 Анализ схем при несинусоидальных периодических воздействиях

Анализ схем при негармонических периодических воздействиях основан на их представлении гармониками тригонометрического ряда Фурье с последующим расчетом цепи для каждой гармоники символическим методом и применением метода наложения для результирующих гармоник.

Важно усвоить, почему токи и напряжения в ветвях схемы определяют от каждой составляющей (гармоники) ряда Фурье в отдельности. Осознать, почему источник негармонической ЭДС (напряжения) можно рассматривать как последовательное соединение в общем случае источника постоянной ЭДС и гармонических источников, соответствующих составляющим ряда Фурье, а источник негармонического тока представлять параллельным соединением источников тока.

Необходимо запомнить, что токи (напряжения) от гармонических источников удобно находить символическим методом (методом комплексных амплитуд), учитывая, что комплексные сопротивления ветвей (элементов) зависят от частоты соответствующей гармоники kω. Например,

${\underset{\_}{Z}}^{\left(k\right)}=R+j{X}_L^{\left(k\right)}-j{X}_C^{\left(k\right)}=R+jk\omega L-j\frac{1}{k\omega C}.$

Как следствие — для постоянной составляющей напряжение на индуктивном элементе U_L = 0, что равносильно короткому замыканию индуктивного элемента L, а напряжение на емкостном элементе U_C = ∞ (размыкание ветви с емкостным элементом).

При анализе и расчете электрических цепей необходимо четко осознавать физический и математический смысл основных величин и коэффициентов несинусоидального тока, которые приведены ниже.

Мгновенное значение периодического несинусоидального тока, представленное рядом Фурье

$i\left(t\right)=I_0+I_m^{\left(1\right)}\sin \left(\omega t+{\psi }_i^{\left(1\right)}\right)+I_m^{\left(2\right)}\sin \left(2\omega t+{\psi }_i^{\left(2\right)}\right)+\mathrm{\dots }+I_m^{\left(k\right)}\sin \left(k\omega t+{\psi }_i^{\left(k\right)}\right)+\mathrm{\dots }$

Действующее (или среднеквадратичное) значение (измеряется приборами электромагнитной, электродинамической, тепловой и других систем)

$I=\sqrt{\frac{1}{T}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}{i}^2\left(t\right)dt}}.$

Среднее квадратичное значение за период равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений каждой гармоники

$I=\sqrt{I_0^2+{\left[I^{\left(1\right)}\right]}^2+{\left[I^{\left(2\right)}\right]}^2+\mathrm{\dots }+{\left[I^{\left(k\right)}\right]}^2+\mathrm{\dots }}$

Постоянная составляющая (измеряется приборами магнитоэлектрической системы)

$I_0=\frac{1}{T}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}i\left(t\right)dt}.$

Среднее по модулю значение негармонической функции

$I_{ср}=\frac{1}{T}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}\left|i\left(t\right)\right|dt}.$

Активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей каждой гармоники

$P=P_0+P^{\left(1\right)}+P^{\left(2\right)}+\mathrm{\dots }=U_0{I}_0+{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{U}^{\left(k\right)}{I}^{\left(k\right)}\cos {\phi }^{\left(k\right)}}.$

Реактивная мощность равна сумме реактивных мощностей каждой гармоники

$Q=Q^{\left(1\right)}+Q^{\left(2\right)}+\mathrm{\dots }={\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{U}^{\left(k\right)}{I}^{\left(k\right)}\sin {\phi }^{\left(k\right)}}.$

Полная мощность

S = U·I.

Коэффициент формы кривой тока (напряжения)

$k_{ф}=\frac{I}{I_{ср}}$  (для синусоиды k_ф = 1,11).

Коэффициент амплитуды

$k_{а}=\frac{I_{\max }}{I}$  (для синусоиды k_а = 1,41).

Коэффициент искажения формы кривой

$k_{и}=\frac{I^{\left(1\right)}}{I}$  (для синусоиды k_и = 1),

где I ⁽¹⁾ — действующее значение первой гармоники тока.

Коэффициент гармоник

$k_{Г}=\frac{\sqrt{{\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }{\left[I^{\left(k\right)}\right]}^2}}}{I^{\left(1\right)}}.$

При решении конкретных задач рекомендуется придерживаться следующего алгоритма расчета.

1. Заданное аналитическое выражение для напряжения источника ЭДС раскладывают в ряд Фурье (или пользуются его табличным представлением)

$u\left(t\right)=U_0+U_m^{\left(1\right)}\sin \left(\omega t+{\psi }_u^{\left(1\right)}\right)+U_m^{\left(2\right)}\sin \left(2\omega t+{\psi }_u^{\left(2\right)}\right)+\mathrm{\dots }+U_m^{\left(k\right)}\sin \left(k\omega t+{\psi }_u^{\left(k\right)}\right)+\mathrm{\dots }$

2. Рассчитывают токи (напряжения), создаваемые нулевой гармоникой (постоянной составляющей) источника ЭДС при k = 0. В исходной схеме закорачивают индуктивные элементы (напряжения равны нулю) и ветви с емкостными элементами размыкают (токи равны нулю). Применяют методы анализа схем постоянного тока.

3. Определяют комплексные амплитуды токов (напряжений) первых гармоник

${\stackrel{?}{I}}_m^{\left(1\right)}=I_m^{\left(1\right)}\cdot e^{j{\psi }_i^{\left(1\right)}}$

по комплексной схеме для k = 1, записывая комплексную амплитуду первой гармоники ЭДС

${\stackrel{?}{E}}_m^{\left(1\right)}=E_m^{\left(1\right)}\cdot e^{j{\psi }_e^{\left(1\right)}}$

и комплексные сопротивления реактивных элементов

${\underset{\_}{Z}}_L^{\left(1\right)}=j{X}_L^{\left(1\right)}=j\omega L;{\underset{\_}{Z}}_C^{\left(1\right)}=-j{X}_C^{\left(1\right)}=-j\frac{1}{\omega C}.$

4. Находят последовательно комплексные амплитуды токов (напряжений) высших гармоник k > 1

${\stackrel{?}{I}}_m^{\left(k\right)}=I_m^{\left(k\right)}\cdot e^{j{\psi }_i^{\left(k\right)}}.$

Для каждой гармоники вычисляют сопротивления реактивных элементов

${\underset{\_}{Z}}_L^{\left(k\right)}=j{X}_L^{\left(k\right)}=jk\omega L;{\underset{\_}{Z}}_C^{\left(k\right)}=-j{X}_C^{\left(k\right)}=-j\frac{1}{k\omega C},$

по найденным комплексным амплитудам токов записывают выражения мгновенных значений каждой гармоники

$i^{\left(k\right)}\left(t\right)=I_m^{\left(k\right)}\sin \left(k\omega t+{\psi }_i^{\left(k\right)}-{\phi }^{\left(k\right)}\right),$

где φ ^(k) — сдвиг фаз между током и напряжением k-й гармоники.

5. Мгновенное значение искомого тока представляют в виде суммы мгновенных значений всех гармонических составляющих токов

$i\left(t\right)=I_0+{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{i}^{\left(k\right)}\left(t\right)}=I_0+{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{I}_m^{\left(k\right)}\sin \left(k\omega t+{\psi }_i^{\left(k\right)}-{\phi }^{\left(k\right)}\right)}.$

коэффициент гармоник, коэффициент искажения, коэффициент амплитуды, алгоритм расчета цепей периодического несинусоидального тока, коэффициент формы, гармоники напряжения, гармоники тока, расчет гармоник тока, постоянная составляющая тока, расчет цепей несинусоидального тока, алгоритм расчет цепей при несинусоидальных периодических воздействиях