Главная → Примеры решения задач ТОЭ → РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ → 3 Методы расчета линейных цепей синусоидального тока → 3.3 Резонанс в электрической цепи

3.3 Резонанс в электрической цепи

Методы и примеры решения задач ТОЭ → РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ → 3 Методы расчета линейных цепей синусоидального тока

3.3 Резонанс в электрической цепи

При резонансе характер нагрузки становится чисто активным, напряжение на входе цепи совпадает с током цепи

---

Решение задач резонанса в электрической цепи

---

Задача 3.3.1 Для последовательного колебательного контура (рис. 3.3.1) найти наибольшее напряжение на конденсаторе при изменении его емкости.

Рис. 3.3.1 Последовательный колебательный контур

Рассчитать и построить зависимость напряжения на конденсаторе от его емкости, если U =16 В, R = 50 Ом, L = 10 мГ, ω = 104 с^–1.

Решение. Ток в последовательном контуре

$I=\frac{U}{Z}=\frac{U}{\sqrt{R^2+{\left(X_L-X_C\right)}^2}}.$

Напряжение на емкости

$U_C=I\cdot X_C=\frac{U\cdot X_C}{\sqrt{R^2+{\left(X_L-X_C\right)}^2}}.$  (1)

Максимум напряжения на емкости найдем из условия

$\frac{d{U}_C}{d{X}_C}=\mathrm{0,}$

откуда

$\begin{array}{l}\frac{d}{d{X}_C}\frac{U\cdot X_C}{\sqrt{R^2+{\left(X_L-X_C\right)}^2}}=0;\frac{d}{d{X}_C}{X}_C\cdot {\left[R^2+{\left(X_L-X_C\right)}^2\right]}^{-\frac{1}{2}}=0;\\ {\left[R^2+{\left(X_L-X_C\right)}^2\right]}^{-\frac{1}{2}}\frac{d}{d{X}_C}{X}_C+X_C\cdot \frac{d}{d{X}_C}{\left[R^2+{\left(X_L-X_C\right)}^2\right]}^{-\frac{1}{2}}=\mathrm{0,}\\ {\left[R^2+{\left(X_L-X_C\right)}^2\right]}^{-\frac{1}{2}}+X_C\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot {\left[R^2+{\left(X_L-X_C\right)}^2\right]}^{-\frac{1}{2}-1}\cdot 2\left(X_L-X_C\right)\left(-1\right)=0;\\ {\left[R^2+{\left(X_L-X_C\right)}^2\right]}^{-\frac{1}{2}}\cdot \left[1+\frac{X_C\left(X_L-X_C\right)}{R^2+{\left(X_L-X_C\right)}^2}\right]=0;\frac{R^2+X_L^2-X_L{X}_C}{R^2+{\left(X_L-X_C\right)}^2}=\mathrm{0,}\end{array}$

видно, что напряжение на конденсаторе достигает максимума при

$\begin{array}{l}{R}^2+X_L^2-X_L{X}_C=0;\\ X_{C\max }=\frac{R^2+X_L^2}{X_L}=\frac{R^2+{\left(\omega L\right)}^2}{X_L}=\frac{{50}^2+{\left({10}^4\cdot {10}^{-2}\right)}^2}{{10}^4\cdot {10}^{-2}}=125Ом.\end{array}$

Тогда

$U_C=\frac{U\cdot X_{C\max }}{\sqrt{R^2+{\left(X_L-X_{C\max }\right)}^2}}=\frac{16\cdot 125}{\sqrt{{50}^2+{\left(100-125\right)}^2}}=\mathrm{35,8}В.$

Кривая U_C(Х_C), рассчитанная по формуле (1), приведена на рис. 3.3.2.

Рис. 3.3.2 Зависимость напряжения на конденсаторе от его емкости в последовательном колебательном контуре

Задача 3.3.2 В последовательной резонансной цепи (рис. 3.3.1) R = 2 Ом, C = 100 мкФ, L = 40 мГн.

Определить резонансную частоту ω₀ добротность контура, полосу пропускания и зависимость полосы пропускания от добротности контура. Построить резонансную кривую I/I_max = f(ω/ω₀) при U =10 В. Построить векторные диаграммы напряжений при частотах ω₀/2, ω₀, 2 ω₀.

Решение. Резонансная частота контура

${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{40\cdot {10}^{-3}\cdot 100\cdot {10}^{-3}}}=500{с}^{-1}.$

Добротность контура

$Q=\frac{X_{C0}}{R}=\frac{1}{{\omega }_{0}C\cdot R}=\frac{X_{L0}}{R}=\frac{{\omega }_{0}L}{R}=\frac{500\cdot 40\cdot {10}^{-3}}{2}=10.$

Резонансная кривая может быть построена из уравнения

$I=\frac{U}{\sqrt{R^2+{\left(X_L-X_C\right)}^2}}=\frac{U}{\sqrt{R^2+{\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}^2}}.$

Преобразуем это выражение

$I=\frac{U}{\sqrt{R^2+{\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}^2}}=\frac{U}{R\sqrt{1+\frac{1}{R^2}{\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}{\omega }_{0}L-\frac{{\omega }_0}{\omega }\frac{1}{{\omega }_{0}C}\right)}^2}}$

в относительных единицах Ω = ω/ω₀

$I\left(\Omega \right)=\frac{I_{\max }}{\sqrt{1+Q^2{\left(\Omega -\frac{1}{\Omega }\right)}^2}},$  (2)

где ток при резонансе

$I_{\max }=\frac{U}{R}.$

Задаваясь разными значениями ω/ω₀, находим I/I_max. Результаты расчетов сведены в табл. 1.

Таблица 1

Ω = ω/ω0	0,4	0,8	1,0	1,2	1,6	2,0
I/Imax	0,047	0,217	1,0	0,263	0,102	0,066

По определению полосы пропускания из уравнения (2) имеем

$\frac{I_{\max }}{I}=\sqrt{2};\sqrt{1+Q^2{\left(\Omega -\frac{1}{\Omega }\right)}^2}=\sqrt{2}$

или

$\begin{array}{l}Q\cdot \left(\Omega -\frac{1}{\Omega }\right)=\pm 1;\\ Q\cdot \left({\Omega }_1-\frac{1}{{\Omega }_1}\right)=-1;Q\cdot \left({\Omega }_2-\frac{1}{{\Omega }_2}\right)=+1.\end{array}$

Отсюда

${\Omega }_1\cdot {\Omega }_2=1$  или ${\omega }_1\cdot {\omega }_2={\omega }_0^2,$  (3)

где ω₁ и ω₂ — граничные частоты полосы пропускания;

${\Omega }_2-{\Omega }_1=\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{{\omega }_0}=\frac{1}{Q}.$  (4)

Решая совместно уравнения (3) и (4), найдем

$\begin{array}{l}{\omega }_1=\frac{{\omega }_0}{2Q}\left(\sqrt{1+4Q}-1\right)=475{с}^{-1};\\ {\omega }_2=\frac{{\omega }_0}{2Q}\left(\sqrt{1+4Q}+1\right)=525{с}^{-1}.\end{array}$

Векторные диаграммы построены на рис. 3.3.3.

Рис. 3.3.3 Векторные диаграммы последовательного колебательного контура

Кривая I/I_max = f(ω/ω₀) — на рис. 3.3.4.

---

Резонанс в электрической цепи, последовательный колебательный контур