Контактные данные

Решение задач ТОЭ

Решение ТОЭ онлайн

Главная → Примеры решения задач ТОЭ → РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ → 3 Методы расчета линейных цепей синусоидального тока → 3.2 Символический метод расчета цепей синусоидального тока

3.2 Символический метод расчета цепей синусоидального тока

Методы и примеры решения задач ТОЭ → РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ → 3 Методы расчета линейных цепей синусоидального тока

При расчете линейных цепей символическим методом токи, напряжения, ЭДС и сопротивления входят в уравнения электрического состояния в виде комплексов. Основными законами, применяемыми для расчета электрических цепей, являются законы Ома и Кирхгофа

Решение задач символическим методом

Задача 3.2.1 Для схемы рис. 3.2.1 определить токи во всех ветвях и напряжения на всех участках, составить баланс активных и реактивных мощностей, построить векторную диаграмму цепи на комплексной плоскости, записать мгновенные значения токов, если u = U_msin(ωt + ψ_U), U_m =600 В, ψ_U = –90°, R₁ = 10 Ом, Х₂ = R₃ = Х₃ = 20 Ом, Х₄ = 50 Ом.

Задачу решить символическим методом.
Примечание. Решение этой задачи методом векторных диаграмм приведено в 3.1 Расчет цепей синусоидального тока методом векторных диаграмм

Схема электрической цепи

Рис. 3.2.1 Схема электрической цепи

Решение

Задачу решаем символическим методом в комплексных амплитудах.

Мгновенное значение напряжения

$u = U_{m} \sin (ω t + ψ_{U}) = 600 \sin (ω t - 90 °), В,$

тогда комплексная амплитуда напряжения

${\overset{?}{U}}_{m} = U_{m} \cdot e^{j ψ_{U}} = 600 \cdot e^{- j 90 °}, В .$

Комплексные сопротивления ветвей

$\begin{array}{l} {\underline{Z}}_{1} = R_{1} - j X_{4} = 10 - j 50 О м; \\ {\underline{Z}}_{2} = j X_{2} = j 20 = 20 \cdot e^{j 90 °} О м; \\ {\underline{Z}}_{3} = R_{3} - j X_{3} = 20 - j 20 = 20 \sqrt{2} \cdot e^{- j 45 °} О м . \end{array}$

Эквивалентная электрическая схема представлена на рис. 3.2.2.

Эквивалентная электрическая схема

Рис. 3.2.2 Эквивалентная электрическая схема

Для схемы со смешанным соединением комплексное общее сопротивление

$\begin{array}{l} \underline{Z} = {\underline{Z}}_{1} + \frac{{\underline{Z}}_{2} \cdot {\underline{Z}}_{3}}{{\underline{Z}}_{2} + {\underline{Z}}_{3}} = (10 - j 50) + \frac{20 e^{j 90 °} \cdot 20 \sqrt{2} e^{- j 45 °}}{j 20 + (20 - j 20)} = \\ = (10 - j 50) + 20 \sqrt{2} e^{j 45 °} = (10 - j 50) + (20 + j 20) = \\ = 30 - j 30 = 30 \sqrt{2} e^{- j 45 °} О м . \end{array}$

Комплексная амплитуда общего тока по закону Ома

${\overset{?}{I}}_{1 m} = \frac{{\overset{?}{U}}_{m}}{\underline{Z}} = \frac{600 \cdot e^{- j 90 °}}{30 \sqrt{2} e^{- j 45 °}} = 10 \sqrt{2} e^{- j 45 °} = 10 - j 10 А .$

Комплексные амплитуды токов ветвей по формуле делителя токов

$\begin{array}{l} {\dot{I}}_{2 m} = {\dot{I}}_{1 m} \cdot \frac{{\underline{Z}}_{3}}{{\underline{Z}}_{2} + {\underline{Z}}_{3}} = 10 \sqrt{2} e^{- j 45 °} \cdot \frac{20 \sqrt{2} e^{- j 45 °}}{j 20 + (20 - j 20)} = 20 e^{- j 90 °} = - j 20 А; \\ {\dot{I}}_{3 m} = {\dot{I}}_{1 m} \cdot \frac{{\underline{Z}}_{2}}{{\underline{Z}}_{2} + {\underline{Z}}_{3}} = 10 \sqrt{2} e^{- j 45 °} \cdot \frac{20 e^{j 90 °}}{j 20 + (20 - j 20)} = 10 \sqrt{2} e^{j 45 °} = 10 + j 10 А . \end{array}$

Проверка по первому закону Кирхгофа

${\overset{?}{I}}_{1 m} = {\overset{?}{I}}_{2 m} + {\overset{?}{I}}_{3 m} = (- j 20) + (10 + j 10) = 10 - j 10 = 10 \sqrt{2} e^{- j 45 °} А .$

Действующие значения токов в ветвях

$\begin{array}{l} I_{1} = \frac{I_{1 m}}{\sqrt{2}} = \frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 10 А; \\ I_{2} = \frac{I_{2 m}}{\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10 \sqrt{2} А; \\ I_{3} = \frac{I_{3 m}}{\sqrt{2}} = \frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 10 А . \end{array}$

По формуле перехода от комплексных амплитуд к мгновенным значениям

$i (t) = Im [{\overset{?}{I}}_{m} e^{j ω t}] = Im [I_{m} e^{j ψ_{I}} e^{j ω t}] = Im [I_{m} e^{j (ω t + ψ_{I})}] = I_{m} \sin (ω t + ψ_{I})$

мгновенные значения токов

$\begin{array}{l} i_{1} (t) = I_{1 m} \sin (ω t + ψ_{I_{1}}) = 10 \sqrt{2} \sin (ω t - 45 °) А; \\ i_{2} (t) = I_{2 m} \sin (ω t + ψ_{I_{2}}) = 20 \sin (ω t - 90 °) А; \\ i_{3} (t) = I_{3 m} \sin (ω t + ψ_{I_{3}}) = 10 \sqrt{2} \sin (ω t + 45 °) А . \end{array}$

Комплексная полная мощность источника

$\begin{array}{l} {\tilde{S}}_{и с т} = P_{и с т} + j Q_{и с т} = \overset{?}{U} \cdot {\overset{*}{I}}_{1} = 600 e^{- j 90 °} \cdot 10 \sqrt{2} e^{+ j 45 °} = \\ = 6000 \sqrt{2} e^{- j 45 °} = 3000 - j 3000 В \cdot А, \end{array}$

откуда активная мощность источника

$P_{и с т} = Re [{\tilde{S}}_{и с т}] = 3000 В т,$

реактивная мощность источника

$Q_{и с т} = Im [{\tilde{S}}_{и с т}] = - 3000 в а р .$

Активная мощность потребителей

$P_{п о т р} = I_{1}^{2} R_{1} + I_{3}^{2} R_{3} = 10^{2} \cdot 10 + 10^{2} \cdot 20 = 3000 В т .$

Реактивная мощность потребителей

$\begin{array}{l} Q_{п о т р} = I_{1}^{2} (- X_{4}) + I_{2}^{2} X_{2} + I_{3}^{2} (- X_{3}) = \\ = 10^{2} \cdot (- 50) + {(10 \sqrt{2})}^{2} \cdot 20 + 10^{2} \cdot (- 20) = - 3000 в а р . \end{array}$

Для построения топографической диаграммы на комплексной плоскости необходимо рассчитать комплексные действующие значения потенциалов точек схемы

$\begin{array}{l} {\overset{?}{φ}}_{e} = 0; \\ {\overset{?}{φ}}_{d} = {\overset{?}{φ}}_{e} + {\overset{?}{I}}_{1} \cdot (- j X_{4}) = 0 + 10 e^{- j 45 °} \cdot 50 e^{- j 90 °} = 500 e^{- j 135 °} = - 250 \sqrt{2} - j 250 \sqrt{2} В; \\ {\overset{?}{φ}}_{b} = {\overset{?}{φ}}_{d} + {\overset{?}{I}}_{2} \cdot j X_{2} = (- 250 \sqrt{2} - j 250 \sqrt{2}) + \frac{20}{\sqrt{2}} e^{- j 90 °} \cdot 20 e^{j 90 °} = - 50 \sqrt{2} - j 250 \sqrt{2} В; \\ {\overset{?}{φ}}_{c} = {\overset{?}{φ}}_{d} + {\overset{?}{I}}_{3} \cdot (- j X_{3}) = (- 250 \sqrt{2} - j 250 \sqrt{2}) + 10 e^{j 45 °} \cdot 20 e^{- j 90 °} = \\ = (- 250 \sqrt{2} - j 250 \sqrt{2}) + (100 \sqrt{2} - j 100 \sqrt{2}) = - 150 \sqrt{2} - j 350 \sqrt{2} В; \\ {\overset{?}{φ}}_{a} = {\overset{?}{φ}}_{b} + {\overset{?}{I}}_{1} \cdot R_{1} = (- 50 \sqrt{2} - j 250 \sqrt{2}) + (5 \sqrt{2} - j 5 \sqrt{2}) \cdot 10 = - j 300 \sqrt{2} = \overset{?}{U} . \end{array}$

При построении векторной диаграммы на комплексной плоскости учитываем направления векторов напряжения на пассивных элементах. Например, вектор напряжения ${\overset{?}{U}}_{R 1} = {\overset{?}{I}}_{1} R_{1} = {\overset{?}{φ}}_{a} - {\overset{?}{φ}}_{b}$ на комплексной плоскости направлен от точки b к точке a, а вектор напряжения ${\overset{?}{U}}_{L 2} = {\overset{?}{I}}_{2} j X_{2} = {\overset{?}{φ}}_{b} - {\overset{?}{φ}}_{d}$ на комплексной плоскости направлен от точки d к точке b.

Топографическая диаграмма на комплексной плоскости приведена на рис. 3.2.3.

Топографическая диаграмма на комплексной плоскости

Рис. 3.2.3 Топографическая диаграмма на комплексной плоскости

топографическая диаграмма, Символический метод

Заказать решение ТОЭ

Новости

Контактные данные

3.2 Символический метод расчета цепей синусоидального тока

Метки