Главная → Примеры решения задач ТОЭ → РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ → 1 Методы расчета электрических цепей при постоянных токах и напряжениях → 1.6 Методы расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока

1.6 Методы расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока

Методы и примеры решения задач ТОЭ → РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ → 1 Методы расчета электрических цепей при постоянных токах и напряжениях

1.6 Методы расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока

Простые нелинейные электрические цепи постоянного тока рассчитывают графическим способом. При этом считаются известными вольт-амперные характеристики (ВАХ) нелинейных элементов, входящих в нелинейную цепь постоянного тока.

Нелинейный элемент, ВАХ которого в рабочем диапазоне приближенно можно изобразить прямолинейным участком, заменяют последовательным соединением линейного резистивного элемента с источником ЭДС. При этом сопротивление линейного элемента принимается равным дифференциальному сопротивлению нелинейного элемента в рабочей точке его ВАХ.

Нелинейный элемент в области рабочей точки характеристики можно также заменить параллельным соединением источника тока с линейным элементом, проводимость которого равна дифференциальной проводимости нелинейного элемента в этой точке.

Разветвленная нелинейная электрическая цепь постоянного тока с одним нелинейным элементом может быть рассчитана методом эквивалентного генератора. При этом заменяют линейную часть нелинейной цепи постоянного тока по отношению к нелинейному элементу эквивалентным источником. Полученную цепь последовательного соединения источника, линейного и нелинейного элементов рассчитывают графически.

Решение нелинейных уравнений, описывающих нелинейную электрическую цепь постоянного тока с двумя узлами, также проводят графически. При этом все уравнения необходимо строить в одинаковом масштабе, на одном графике в функции узлового напряжения.

---

Расчет нелинейных цепей постоянного тока

---

Задача 1.6.1 Графический метод расчета (для двух узлов) нелинейной цепи постоянного тока

Определить графическим методом значение токов в нелинейной цепи постоянного тока, показанной на рис. 1.6.1, если E₁ = E₃ = 100 В и R₃ = 500 Ом.

Рис. 1.6.1

Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов симметричны относительно начала координат и показаны на рис. 1.6.2 (I₁ (U₁) — кривая 1; I₂ (U₂) — кривая 2).

Рис. 1.6.2

Решение. Для всех трех ветвей цепи напряжение U_cd одинаково (см. рис. 1.6.1).

Построим вольт-амперные характеристики ветвей I₁ (U_cd); I₂ (U_cd); I₃ (U_cd) (рис. 1.6.3).

Рис. 1.6.3

Характеристика второй ветви I₂ (U_cd) построена для нелинейного элемента 2.

Для первой ветви U_cd = U₁ — E₁. Из соответствующих значений U₁ вольт-амперной характеристики 1 вычитаем E₁. Результаты расчета характеристики I₁ (U_cd) приведены в табл. 1.6.1.

Таблица 1.6.1

U1, В	100	80	60	40	30	20	10	5	0
Ucd = U1 — E1	0	-20	-40 1с комплексная автоматизация. 1с документооборот цена.	-60	-70	-80	-90	-95	-100
I1, А	1,1	1,0	0,9	0,8	0,72	0,6	0,45	0,3	0

Продолжение табл. 1.6.1

U1, В	-5	-10	-20	-30	-40	-60	-80	-100
Ucd = U1 — E1	-105	-110	-120	-130	-140	-160	-180	-200
I1, А	-0,3	-0,4	-0,6	-0,72	-0,8	-0,9	-1,0	-1,1

По данным таблицы строим вольт-амперную характеристику первой ветви I₁ (U_cd).

Третья ветвь является линейной, ее вольт-амперная характеристика U_cd (I₃) = E₃ — R₃·I₃. Для построения ВАХ по точкам пересечения прямой и осей координат находим

$$\begin{array}{l}{U}_{cd}=0;I_3=\frac{E_3}{R_3}=\frac{100}{500}=\mathrm{0,2}А;\\ I_3=0;U_{cd}=E_3=100В.\end{array}$$

По первому закону Кирхгофа I₁ + I₂ = I₃ построим зависимость I₁ + I₂ = f (U_cd), т. е. эквивалентную вольт-амперную характеристику первых двух ветвей. Эту характеристику получаем, складывая ординаты характеристик I₁ (U_cd) и I₂ (U_cd). В точке пересечения зависимостей I₁ + I₂ = f (U_cd) и I₃ (U_cd) выполняется равенство I₁ + I₂ = I₃, т. е. точка пересечения дает значения токов. Таким образом,

U_cd = –72 В; I₁ = 0,68 А; I₂ = –0,32 А; I₃ = 0,36 А.

Задача 1.6.2 Приведение нелинейной цепи постоянного тока к графическому методу расчета для двух узлов

Определить значения токов во всех ветвях нелинейной цепи постоянного тока рис. 1.6.4.

Рис. 1.6.4

Величины сопротивлений и входного напряжения указаны на рис. 1.6.4.

Рис. 1.6.5

Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов показаны на рис. 1.6.5 в виде кривых I₁ = f (U₁); I₂ = f (U₂).

Решение. Для определения токов I₁ и I₂ в ветвях с нелинейными элементами разомкнем эти ветви и найдем напряжения U_1х и U_2х из схемы рис. 1.6.6

Рис. 1.6.6

$$\begin{array}{l}{U}_{1x}=U\frac{R_3}{R_3+R_4}=12\cdot \frac{6}{18}=4В;\\ U_{2x}=U\frac{R_4}{R_3+R_4}=12\cdot \frac{12}{18}=8В.\end{array}$$

2. Включим в соответствующие ветви с нелинейными элементами ЭДС E_1х = U_1х и E_2х = U_2х и замкнем накоротко зажимы a и c, к которым присоединен внешний источник напряжения (рис. 1.6.7).

Рис. 1.6.7

Токи I₁ и I₂ в этой схеме будут равны действительным токам в соответствующих ветвях заданной схемы. После замены двух параллельных ветвей с сопротивлением R₃ и одной эквивалентной ветвью получаем схему с двумя узлами (рис. 1.6.8), где

$$R_5=2Ом;R_{34}=\frac{R_3\cdot R_4}{R_3+R_4}=4Ом.$$

Рис. 1.6.8

Пользуясь схемой рис. 1.6.8, можно токи I₁ и I₂ определить графически, как это было сделано в предыдущей задаче 1.6.1.

Задача 1.6.3 Расчет нелинейной цепи постоянного тока методом линеаризации

Рассчитать ток I и напряжения U₁ и U₂ в цепи рис. 1.6.9, а, применив метод линеаризации. Характеристика нелинейного элемента показана на рис. 1.6.9, б.

Рис. 1.6.9

Решение

1. Выбираем рабочую точку A (U = 86 В; I = 0,7 А) в почти линейной части вольт-амперной характеристики. Проводим в этой точке касательную, которая на оси ординат отсекает точку с напряжением U = 70 В. Для рабочей точки дифференциальное сопротивление

$$R_{Д}=\frac{\Delta U}{\Delta I}=\frac{86-70}{\mathrm{0,7}}=\mathrm{22,8}Ом.$$

2. Исходную схему замещаем эквивалентной линейной (рис. 1.6.9, в). Для этой цепи

$$I=\frac{U-E}{R+R_{Д}}=\frac{100-70}{20+\mathrm{22,8}}=\mathrm{0,7}А.$$

Напряжения на элементах

$$\begin{array}{l}{U}_1=E+I\cdot R_{Д}=70+\mathrm{0,7}\cdot \mathrm{22,8}=86В;\\ U_2=I\cdot R=\mathrm{0,7}\cdot 20=14В.\end{array}$$

Полученная рабочая точка A лежит в линейной части вольт-амперной характеристики. Если полученные значения токов и напряжений не находятся в «окрестностях» рабочей точки, расчет необходимо повторить, выбрав другую рабочую точку.

Задача 1.6.4 Расчет нелинейной цепи постоянного тока методом итераций

Определить значение токов в нелинейной цепи постоянного тока методом итераций (рис. 1.6.10), если Е₁ = 135 В; E₂ =115 В.

Рис. 1.6.10

Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов даны на рис. 1.6.2: I₁ (U₁) — кривая 1; I₂ (U₂) — кривая 2.

Решение

1. Составим уравнения для данной цепи, применив законы Кирхгофа

$$\{\begin{array}{l}{I}_1+I_2-I_3=0;\\ I_1\cdot R_4+U_1+I_3\cdot R_3=E_1;\\ I_2\cdot R_5+U_2+I_3\cdot R_3=E_2.\end{array}$$

Исключив переменную I₃, число уравнений сокращаем до числа нелинейных элементов

$$\{\begin{array}{l}{I}_1\cdot \left(R_3+R_4\right)+I_2\cdot R_3+U_1=E_1;\\ I_1\cdot R_3+I_2\cdot \left(R_3+R_5\right)+U_2=E_2.\end{array}$$

2. Для обеспечения сходимости из первого уравнения находим U₁, а из второго — I₂

$$\{\begin{array}{l}{U}_1=E_1-I_2\cdot R_3-I_1\cdot \left(R_3+R_4\right);\\ I_2=\frac{E_2-U_2}{R_3+R_5}-I_1\frac{R_3}{R_3+R_5}.\end{array}$$

Текущие значения токов и напряжений обозначаем индексом k, а уточненные значения — индексом (k +1). Окончательно получаем

$$\{\begin{array}{l}{U}_{1\left(k+1\right)}=E_1-I_{2k}\cdot R_3-I_{1k}\cdot \left(R_3+R_4\right);\\ I_{2\left(k+1\right)}=\frac{E_2-U_{2k}}{R_3+R_5}-I_{1k}\frac{R_3}{R_3+R_5}.\end{array}$$

Значения I_1k и U_2k определяем из вольт-амперных характеристик соответствующих нелинейных элементов по известным U_1k и I_2k.

Сначала (k = 0) произвольно выбираем U₁₀ = 40 В; I₂₀ = 0,5 А.

Подставив их в итерационные уравнения, получаем

U₁₁ = 50,2 В; I₂₁ = 0,383 А.

Процедуру повторяем с уточненными значениями U₁₂, I₂₂ и т. д.

После семи шагов значения U₁ и I₂ будут изменяться незначительно. Вычисления прекращаем.

Таблица 1.6.2

k	U1k, В	I2k, А	Из характеристик		Из уравнения
			U2k, В	I1k, А	I2 (k+1), А	U1 (k+1), В
0	40	0,5	80	0,8	0,383	50,2
1	50,2	0,383	75	0,85	0,33	55,72
2	55,72	0,33	72	0,88	0,313	58,3
3	58,3	0,313	71	0,89	0,305	59,4
4	59,4	0,305	70,5	0,897	0,301	59,9
5	59,9	0,301	70,1	0,9	0,3	59,96
6	59,96	0,3	70,0	0,9	0,3	60,0
7	60,0	0,3	70,0	0,9	0,3	60,0

Результаты расчета нелинейной цепи постоянного тока методом итераций показаны в табл. 1.6.2. Из нее следует: U₁ = 60 В; I₂ = 0,3 А; из вольт-амперных характеристик (–I₁) = 0,9 А; U₂ = 70 В, а из первого уравнения законов Кирхгофа находим ток I₃ = I₁ + I₂ = 1,2 А.

---

Ссылка на статью по нелинейным электрическим цепям постоянного тока НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА. Основные положения и соотношения. Упражнения и задачи

расчет нелинейных цепей постоянного тока