Главная → Примеры решения задач ТОЭ → РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ → 2 Магнитное поле и магнитные цепи при постоянных токах → 2.1 Методы расчета магнитных цепей постоянного тока

2.1 Методы расчета магнитных цепей постоянного тока

Методы и примеры решения задач ТОЭ → РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ → 2 Магнитное поле и магнитные цепи при постоянных токах

Расчет магнитных цепей при постоянных токах

Основанием к расчету магнитных цепей служат: первый закон Кирхгофа для магнитных цепей и закон полного тока — второй закон Кирхгофа для магнитных цепей.
Первый закон Кирхгофа для магнитных цепей гласит: алгебраическая сумма магнитных потоков в узле магнитной цепи равна нулю.

Закон полного тока применяется к замкнутому контуру, образованному средними магнитными линиями магнитной цепи и имеет вид:

$${\displaystyle \int \overrightarrow{H}\cdot \overrightarrow{dl}}={\displaystyle \sum I\cdot w},$$

где

${\displaystyle \int \overrightarrow{H}\cdot \overrightarrow{dl}}={\displaystyle \sum H\cdot l }$ — падение магнитного напряжения U_M = H·l в контуре;

$F={{\displaystyle \sum }}^{}I\cdot w$ — магнитодвижущая сила контура (м. д. с.).

Второй закон Кирхгофа для магнитных цепей сформулируем следующим образом: алгебраическая сумма магнитных напряжений U_M = H·l в замкнутом контуре магнитной цепи $\left({\displaystyle \sum U_M}={\displaystyle \sum H\cdot l}\right)$ равна алгебраической сумме магнитодвижущих сил F = I·w в том же контуре $\left({\displaystyle \sum F}={\displaystyle \sum I\cdot w}\right)$:

$${\displaystyle \sum U_M}={\displaystyle \sum F}$$

или

$${\displaystyle \sum H\cdot l}={\displaystyle \sum I\cdot w}.$$

Задачи на расчет магнитной цепи могут быть двух видов: прямая задача на расчет магнитной цепи — когда задан поток и требуется рассчитать магнитодвижущую силу (м. д. с.) и обратная задача на расчет магнитной цепи — когда по заданной м. д. с. требуется рассчитать магнитный поток.

В обоих случаях должны быть известны геометрические размеры магнитной цепи и заданы кривые намагничивания ее материалов.

Алгоритм прямой задачи расчета неразветвленной магнитной цепи

Дана конфигурация и геометрические размеры неразветвленной магнитной цепи, кривая (или кривые) намагничивания магнитного материала и магнитный поток или индукция магнитного поля в каком-либо сечении. Требуется найти магнитодвижущую силу, ток или число витков намагничивающей обмотки.

Расчет проводим в соответствии с алгоритмом:

1. Разбиваем магнитную цепь на однородные (из одного магнитного материала) участки постоянного сечения и определяем длины l_k и площади поперечного сечения S_k участков. Длины участков (в метрах) берем по средней силовой линии.

2. Исходя из постоянства потока вдоль всей неразветвленной магнитной цепи, по заданному магнитному потоку Ф и сечениям S_k участков находим магнитные индукции на каждом участке:

$$B_k=\frac{Ф}{S_k}.$$

Если задана магнитная индукция на каком-либо участке магнитной цепи, то магнитный поток вдоль всей неразветвленной цепи

Ф = B_k·S_k.

3. По найденным магнитным индукциям B_k участков цепи и кривой намагничивания материала k-го участка цепи (например, рис. 2.1, табл. 2.1) определяем напряженности поля H_k на каждом участке магнитной цепи.

Напряженность поля в воздушном зазоре находим по формуле

$$H_{возд}=\frac{B_{возд}}{{\mu }_0}=\frac{B_{возд}}{4\pi \cdot {10}^{-7}}.$$

4. Подсчитаем сумму падений магнитных напряжений U_Mk = H_k·l_k вдоль всей магнитной цепи $${\displaystyle \sum U_{Mk}}={\displaystyle \sum H_k\cdot l_k}$$ и на основании второго закона Кирхгофа для магнитной цепи приравниваем сумме магнитодвижущих сил F_k = I_k·w_k вдоль всей магнитной цепи:

$${\displaystyle \sum H_k\cdot l_k}={\displaystyle \sum I_k\cdot w_k}.$$

Основным допущением при расчете является то, что магнитный поток вдоль всей неразветвленной магнитной цепи полагаем неизменным. В действительности не большая часть потока всегда замыкается, минуя основной путь. Этот поток называют потоком рассеяния.

---

Единицы измерения магнитных величин

B — индукция магнитного поля, Тл (Тесла);

H — напряженность магнитного поля, А/м (Ампер/метр);

Ф — поток индукции магнитного поля, Вб (Вебер);

F = I·w — магнитодвижущая сила (м. д. с.), А (Ампер);

U_M = H·l — магнитное напряжение, А (Ампер!).

---

Константы

${\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}$ Гн/м — магнитная постоянная.

---

Рис. 2.1 Кривые намагничивания стали и чугуна

Таблица 2.1 — Данные основной кривой намагничивания листовой электротехнической стали Э11

B, Вб/м2	H, А/м
	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,4	140	143	146	149	152	155	158	161	164	167
0,5	171	175	179	183	187	191	195	199	203	207
0,6	211	216	221	226	231	236	241	246	251	256
0,7	261	266	271	276	281	287	293	299	306	312
0,8	318	324	330	337	344	352	360	369	378	387
0,9	397	407	417	427	437	447	458	469	480	491
1,0	502	514	527	541	555	570	585	600	615	631
1,1	647	664	682	701	720	739	759	779	800	821
1,2	843	866	891	918	946	976	1010	1040	1070	1100
1,3	1140	1180	1220	1260	1300	1340	1380	1430	1480	1530
1,4	1580	1640	1710	1780	1860	1950	2050	2150	2260	2380
1,5	2500	2640	2790	2950	3110	3280	3460	3660	3880	4120
1,6	4370	4630	4910	5220	5530	5880	6230	6600	6980	7370
1,7	7780	8200	8630	9070	9630	10100	10600	11100	11600	12200
1,8	12800	13400	14000	14600	15200	15900	16600	17300	18000	18800
1,9	19700	20600	21600	22 600	23600	24600	25600	26800	28200	29600
2,0	31000	32500	34300	36500	39000	42000	45500	49500	54500	59500

Примеры пользования таблицей:

1) При B = 0,80 Вб/м²: H = 318 А/м; при B = 0,85 Вб/м²: H = 352 А/м.

2) При B = 1,13 Вб/м²: H = 701 А/м.

---

Решение задач на расчет магнитных цепей при постоянных токах

---

Задача 2.1. На рис. 2.2 изображен разрез трех катушек, по которым проходят токи I₁ = 8 А, I₂=10 А и I₃ = 5 А.

Рис. 2.2

Катушки размещены на стальном сердечнике. Первая катушка (левая) w₁ имеет 8 витков, вторая (средняя) w₂ — 10 витков и третья (правая) w₃ — 6 витков. Определить полную магнитодвижущую силу (м. д. с.) по замкнутым контурам а, b, с, d, е, f, показанным на рис. 2.2. Контур е охватывает катушки w'₂ с 4 витками и w'₃ с 2 витками.

Изменится ли результат решения задачи, если при тех же данных катушки разместить на сердечнике из другого магнитного материала?

Решение

Воспользуемся законом полного тока. Линейный интеграл вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равен алгебраической сумме токов, проходящих сквозь поверхность, ограничиваемую контуром интегрирования,

$${\displaystyle \int \overrightarrow{H}\cdot \overrightarrow{dl}}={\displaystyle \sum I\cdot w}.$$

Пользуясь законом полного тока, найдем:

$$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{a}{\int }\overrightarrow{H}\cdot \overrightarrow{dl}}=w_1\cdot I_1=8\cdot 8=64А;\\ {\displaystyle \underset{b}{\int }\overrightarrow{H}\cdot \overrightarrow{dl}}=-w_1\cdot I_1=-8\cdot 8=-64А;\\ {\displaystyle \underset{c}{\int }\overrightarrow{H}\cdot \overrightarrow{dl}}=w_2\cdot I_2-w_1\cdot I_1=10\cdot 10-8\cdot 8=36А;\\ {\displaystyle \underset{d}{\int }\overrightarrow{H}\cdot \overrightarrow{dl}}=w_1\cdot I_1-w_2\cdot I_2+w_2\cdot I_2+w_3\cdot I_3=8\cdot 8+6\cdot 5=94А;\\ {\displaystyle \underset{e}{\int }\overrightarrow{H}\cdot \overrightarrow{dl}}={w^{\prime }}_2\cdot I_2-{w^{\prime }}_3\cdot I_3=4\cdot 10+2\cdot 5=50А;\\ {\displaystyle \underset{f}{\int }\overrightarrow{H}\cdot \overrightarrow{dl}}=2w_3\cdot I_3=2\cdot 6\cdot 5=60А.\end{array}$$

В правой части последнего выражения коэффициент 2 учитывает то обстоятельство, что витки w₃ охватываются контуром интегрирования (циркуляции) дважды.

Следует заметить, что при пользовании правилом винта необходимо всегда сопоставлять направление обхода по контуру циркуляции с направлениями токов, пронизывающих поверхность, ограниченную контуром циркуляции.

Результаты решения задачи не изменятся, если катушки разместить на сердечнике из другого магнитного материала, так как м. д. с. определяется только величиной полного тока и не зависит от магнитных свойств вещества.

---

Задача 2.2. Определить магнитодвижущую силу (прямая задача расчета одноконтурной магнитной цепи), необходимую для получения магнитного потока в 5,9·10^–4 Вб в кольцеобразном сердечнике, сечением S = 5 см². Длина средней линии магнитной индукции l = 25 см.

Определить Н (напряженность магнитного поля в сердечнике) и ${\mu }_r$  (относительная магнитная проницаемость материала сердечника). Материал сердечника — слаболегированная электротехническая листовая сталь Э11.

Решение

Найдем магнитную индукцию

$$B=\frac{Ф}{S}=\frac{\mathrm{5,9}\cdot {10}^{-4}}{5\cdot {10}^{-4}}=\mathrm{1,18}\frac{Вб}{{м}^2}.$$

По кривой намагничивания для стали Э11 найдем, что индукции B = 1,18 Вб/м² соответствует H = 800 А/м.

Общая магнитодвижущая сила по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока)

F = H·l = 800·0,25 = 200 А.

Определим абсолютную магнитную проницаемость:

$${\mu }_a=\frac{B}{H}=\frac{\mathrm{1,18}}{800}=1475\cdot {10}^{-6}\frac{Гн}{м}.$$

Магнитная проницаемость (относительная магнитная проницаемость)

$${\mu }_r=\frac{{\mu }_a}{{\mu }_0}=\frac{1475\cdot {10}^{-6}}{4\pi \cdot {10}^{-7}}=1175.$$

---

Задача 2.3. На рис. 2.3 изображен электромагнит, сердечник которого изготовлен из слаболегированной листовой электротехнической стали Э11, а якорь — из литой стали.

Рис. 2.3

Какой ток должен быть пропущен через обмотку электромагнита (прямая задача расчета одноконтурной магнитной цепи), состоящую из w = 500 витков, для того, чтобы в якоре была создана магнитная индукция в 0,84 Вб/м². Размеры на рис. 2.3 даны в миллиметрах. Длина воздушного зазора $\delta$ = 1 мм. Площадь сечения воздушного зазора считать равной площади сечения сердечника (пренебрегаем потоком рассеяния). Чему равна статическая индуктивность электромагнита?

Решение

Это пример прямой задачи на расчет магнитной цепи. На рис. 2.3 пунктиром проведена средняя линия магнитной индукции (приближенно). Длина проходящей вдоль сердечника части средней линии магнитной индукции abсd = l₁ = 0,28 м. Сечение сердечника S₁ = 2·2 = 4 см² = 4·10^–4 м².

Сечение якоря S₂ = 2·2,5 = 5 см² = 5·10^–4 м², длина проходящей через него части средней линии магнитной индукции efgh = l₂ = 0,16 м. Магнитная индукция в якоре B₂ = 0,84 Вб/м² (по условию задачи).

Из условия равенства магнитных потоков в якоре и в сердечнике (одноконтурная магнитная цепь, потоком рассеяния пренебрегаем)

Ф₁ = B₁·S₁ = B₂·S₂

найдем магнитную индукцию в сердечнике:

$$B_1=\frac{B_2\cdot S_2}{S_1}=\frac{\mathrm{0,84}\cdot 5\cdot {10}^{-4}}{4\cdot {10}^{-4}}=\mathrm{1,05}\frac{Вб}{{м}^2}.$$

Сечение воздушного зазора, длина проходящей в нем части линии магнитной индукции и магнитная индукция равны:

$$S_3=4\cdot {10}^{-4}{м}^2;l_3=2\delta =2\cdot {10}^{-3}м;B_3=\mathrm{1,05}\frac{Вб}{{м}^2},$$

напряженность магнитного поля в воздухе:

$$H_3=\frac{B_3}{{\mu }_0}=\frac{\mathrm{1,05}}{4\pi \cdot {10}^{-7}}=84\cdot {10}^4\frac{А}{м}.$$

Общая магнитодвижущая сила по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока)

F = H₁·l₁ + H₂·l₂ + H₃·l₃.

В целях большей наглядности расчеты удобно свести в таблицу, в которой данные для напряженности магнитного поля в отдельных элементах магнитопровода взяты по соответствующим кривым намагничивания. Так, для сердечника, изготовленного из стали Э11, находим, что индукции B₁ = 1,05 Вб/м² соответствует значение напряженности магнитного поля H₁ = 570 А/м, а для якоря, изготовленного из литой стали, имеем, что величине B₂ = 0,84 Вб/м² соответствует значение H₂ = 540 А/м.

Название участка	Материал	S, м2	l, м	B, Вб/м2	H, А/м	H·l, А
Сердечник	Сталь Э11	4·10–4	0,28	1,05	570	160
Якорь	Литая сталь	5·10–4	0,16	0,84	540	85
Воздушный зазор	Воздух	4·10–4	0,002	1,05	84·104	1680

$F={\displaystyle \sum H_k\cdot l_k}=160+85+1680=1925А.$

Искомый ток найдем, пользуясь формулой F = I·w:

$$I=\frac{F}{w}=\frac{1925}{500}=\mathrm{3,85}А.$$

Статическая индуктивность электромагнита равна отношению потокосцепления (полного магнитного потока) к току:

$$L_{ст}=\frac{\Psi }{I}=\frac{w\cdot Ф}{I}=\frac{500\cdot \mathrm{4,2}\cdot {10}^{-4}}{\mathrm{3,85}}=\mathrm{0,053}Гн=053мГн.$$

---

Задача 2.4. Найти магнитную индукцию в якоре электромагнита (обратная задача расчета одноконтурной магнитной цепи), изображенном на рис. 2.3, если на электромагнит намотано w = 250 витков, по которым проходит ток I = 4,4 А. Сердечник изготовлен из листовой электротехнической стали Э11, а якорь — из литой стали. Размеры сердечника и якоря те же, что и в предыдущей задаче. Длина воздушного зазора 0,5 мм. Площадь сечения воздушного зазора считать равной площади сердечника.

Решение

Это пример обратной задачи на расчет магнитной цепи. Для ее решения надо построить кривую зависимости магнитного потока Ф в функции магнитодвижущей силы F и на кривой найти рабочую точку.

Чтобы построить кривую Ф = f (F) будем задаваться различными величинами магнитных потоков Ф, по которым вычисляем соответствующие им значения магнитной индукции B в каждом из участков магнитной цепи. Затем по кривым намагничивания находим напряженность поля H, соответствующую каждому значению индукции B, и, наконец, вычисляем магнитодвижущую силу по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока)

$$F={{\displaystyle \sum }}^{}{H}_k\cdot l_k.$$

Так, например, примем Ф = 3,2·10^–4 Вб. Тогда

$$\begin{array}{l}{B}_{с\mathrm{ер}д}=\frac{Ф}{S_{с\mathrm{ер}д}}=\frac{\mathrm{3,2}\cdot {10}^{-4}}{4\cdot {10}^{-4}}=\mathrm{0,8}\frac{Вб}{{м}^2};\\ B_{як}=\frac{Ф}{S_{як}}=\frac{\mathrm{3,2}\cdot {10}^{-4}}{5\cdot {10}^{-4}}=\mathrm{0,64}\frac{Вб}{{м}^2};\\ B_{заз}=B_{\mathrm{се}рд}=\mathrm{0,8}\frac{Вб}{{м}^2}.\end{array}$$

По кривым намагничивания находим напряженности магнитного поля:

$$\begin{array}{l}{H}_{\mathrm{се}рд}=318\frac{А}{м};\\ H_{як}=330\frac{А}{м};\\ H_{заз}=\frac{B_{заз}}{{\mu }_0}=\frac{\mathrm{0,8}}{4\pi \cdot {10}^{-7}}=64\cdot {10}^4\frac{А}{м}.\end{array}$$

Магнитодвижущая сила

$$\begin{array}{l}F=H_{\mathrm{се}рд}\cdot l_{с\mathrm{ер}д}+H_{як}\cdot l_{як}+H_{заз}\cdot l_{заз}=\\ =318\cdot \mathrm{0,28}+330\cdot \mathrm{0,16}+64\cdot {10}^4\cdot {10}^{-3}=780А.\end{array}$$

Эта магнитодвижущая сила меньше заданной, которая равна

I·w = 4,4·250 = 1100 А.

Аналогично проводим расчеты для больших значений Ф, которые сведены в следующую таблицу:

Ф, Вб	Bсерд, Вб/м2	Нсерд, А/м	lсерд, м	Bяк, Вб/м2	Hяк, А/м	lяк, м	Bзаз, Вб/м2	Hзаз, А/м	lзаз, м	F, А
3,2·10–4	0,8	318	0,28	0,64	330	0,16	0,8	64·104	1·10–3	780
3,6·10–4	0,9	397	0,28	0,72	400	0,16	0,9	72·104	1·10–3	895
4,0·10–4	1,0	502	0,28	0,80	490	0,16	1,0	80·104	1·10–3	1020
4,4·10–4	1,1	647	0,28	0,88	600	0,16	1,1	88·104	1·10–3	1160

Мы остановились на величине Ф = 4,4·10^–4 Вб потому, что для этого значения магнитного потока суммарная магнитодвижущая сила равна 1160 А, что больше заданных 1100 А. По данным расчетов построена кривая Ф = f (F) и на ней определена рабочая точка, которая при F = 1100 А соответствует значению магнитного потока в 4,24·10^–4 (рис. 2.4).

Рис. 2.4

Следовательно, искомая индукция в якоре электромагнита

$$B_{як}=\frac{Ф}{S_{як}}=\frac{\mathrm{4,24}\cdot {10}^{-4}}{5\cdot {10}^{-4}}=\mathrm{0,848}\frac{Вб}{{м}^2}.$$

Обычно в технических расчетах значения магнитной индукции округляют до сотых долей Вб/м² (целые сотни гауссов); поэтому считаем B_як = 0,85 Вб/м².

Укажем, что задача могла бы быть решена и другим путем — методом проб: суть его состоит в том, что так же, как и выше, задаются некоторым значением магнитного потока Ф, для которого подсчитывают магнитодвижущую силу F. Если она окажется меньше заданной, то берут большие значения Ф до тех пор, пока не получат F больше заданной величины. После этого значения Ф, соответствующие большим и меньшим против заданного значениям F сужают до тех пор, пока для одного из сечений магнитной цепи полученные значения магнитной индукции будут различаться друг от друга не более чем на 0,1 Вб/м² (1000 Гс). Искомое значение Ф можно затем найти путем интерполирования.

Так, например, задаемся величиной Ф = 3,2·10^–4 Вб, которой соответствует магнитодвижущая сила F = 780 А, что меньше заданного значения F_зад = 1100 А. Теперь зададимся Ф' = 4,4·10^–4 Вб, для которого найдем F' = 1160 А; это больше заданной величины F_зад. Уменьшаем значение Ф, принимая его, например, равным 4·10^–4 Вб; ему соответствует значение F'' = 1020 А, что вновь меньше заданной величины магнитодвижущей силы. Итак, при Ф'' = 4·10^–4 Вб: B''_як = 0,8 Вб/м², а при Ф' = 4,4·10^–4 Вб: B'_як = 0,88 Вб/м².

Таким образом, значения магнитной индукции B в одном из сечений (в данном случае в якоре) отличаются одно от другого менее, чем на 0,1 Вб/м² (0,88 — 0,8 = 0.08 Вб/м²).

Окончательное значение магнитного потока найдем линейным интерполированием.

Рис. 2.5

Из треугольника MNP (рис. 2.5) имеем:

$$\frac{\Delta Ф}{\mathrm{4,4}\cdot {10}^{-4}-4\cdot {10}^{-4}}=\frac{1100-1020}{1160-1020},$$

отсюда

$$\Delta Ф=\mathrm{0,23}\cdot {10}^{-4}Вб,аФ=4\cdot {10}^{-4}+\mathrm{0,23}\cdot {10}^{-4}=\mathrm{4,23}\cdot {10}^{-4}Вб.$$

Искомая индукция в якоре

$$B_{як}=\frac{Ф}{S_{як}}=\frac{\mathrm{4,23}\cdot {10}^{-4}}{5\cdot {10}^{-4}}\approx \mathrm{0,85}\frac{Вб}{{м}^2}.$$

---

Задача 2.5. Найти магнитную индукцию в воздушном зазоре тороида (обратная задача расчета одноконтурной магнитной цепи), изготовленного из литой стали (рис. 2.6), если на тороид намотано w = 400 витков, по которым проходит ток I = 4 А. Воздушный зазор = 2 мм. Размеры тороида на рисунке даны в мм.

Рис. 2.6

Решение

Задача может быть решена аналогично предыдущей. Мы здесь укажем, как быстрее всего найти первое приближенное значение магнитного потока. Для этого предполагаем, что вся заданная магнитодвижущая сила F = I·w расходуется на ту часть магнитопровода, которая предполагается имеющей наибольшее магнитное сопротивление. Получаемое при этом значение магнитного потока будет завышено по сравнению с фактическим, ибо в расчете не были учтены магнитные сопротивления других участков цепи.

Полагая в нашем случае, что вся магнитодвижущая сила падает на магнитном сопротивлении воздушного зазора, запишем по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока):

$$F=I\cdot w=H_{возд}\cdot \delta =\frac{B}{{\mu }_0}\cdot \delta ,$$

откуда

$$B=\frac{I\cdot w\cdot {\mu }_0}{\delta }=\frac{4\cdot 400\cdot 4\pi \cdot {10}^{-7}}{2\cdot {10}^{-3}}=\mathrm{1,0}\frac{Вб}{{м}^2}.$$

Так как это значение индукции, как указано выше, явно завышено, проведем новый расчет для меньшего значения магнитной индукции, например, для 0,8 Вб/м². По кривой намагничивания для литой стали этой индукции соответствует величина напряженности магнитного поля H_ст = 490 А/м.

Общая магнитодвижущая сила по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока) при этом будет равна

$$F=H_{ст}\cdot l_{ст}+H_{возд}\cdot \delta =490\cdot \mathrm{0,785}+\frac{\mathrm{0,8}}{4\pi \cdot {10}^{-7}}\cdot 2\cdot {10}^{-3}=1650А,$$

что превышает заданную величину 1600 А.

Теперь проведем расчет для еще меньшей индукции B = 0,7 Вб/м². Для нее по кривой намагничивания напряженность H_ст = 380 А/м. Общая магнитодвижущая сила в этом случае будет

$$F=H_{ст}\cdot l_{ст}+H_{возд}\cdot \delta =490\cdot \mathrm{0,785}+\frac{\mathrm{0,7}}{4\pi \cdot {10}^{-7}}\cdot 2\cdot {10}^{-3}=1410А,$$

что меньше заданной величины 1600 А.

Таким образом, истинная величина индукции находится в пределах от 0,7 до 0,8 Вб/м². Ее мы найдем интерполированием (рис. 2.7).

Рис. 2.7

Искомая индукция $B=\mathrm{0,7}+\Delta B,где\Delta B$ находится из соотношения

$$\frac{\Delta B}{\mathrm{0,1}}=\frac{1600-1410}{1650-1410}=\frac{190}{240},$$

откуда

$$\Delta B=\frac{190}{240}\cdot \mathrm{0,1}\approx \mathrm{0,08}\frac{Вб}{{м}^2}.$$

Итак, искомая индукция равна 0,78 Вб/м² (7800 Гс).

---

Задача 2.6. Определить все магнитные потоки и ток, проходящий через катушку, расположенную на среднем стержне сердечника, если в левом стержне имеется магнитная индукция в 0,95 Вб/м². Размеры магнитопровода на рис. 2.8 даны в миллиметрах. Материал сердечника — листовая сталь Э11. Число витков катушки w = 500.

Рис. 2.8

Решение

Покажем на рисунке средние линии магнитной индукции. По данным задачи найдем их длины:

l_A = 60 см; l_B = 25 см; l_C = 70 см.

Задачи на сложную разветвленную несимметричную магнитную цепь решаются на основании первого и второго законов Кирхгофа для магнитной цепи:

для узла n

                                                Ф_B = Ф_A + Ф_C;                                       (1)

для контура npqn

                                             H_B·l_B + H_C·l_C = I·w;                               (2)

для контура npqmn

                                              H_C·l_C — H_A·l_A = 0.                                 (3)

В уравнениях (2) и (3) H_A, H_B и H_C соответственно напряженности магнитного поля в стержнях A, B и C.

Для магнитной индукции в левом стержне B_A = 0,95 Вб/м² по кривой намагничивания для листовой стали найдем H_A = 447 А/м.

Из уравнения (3) получим

$$H_C=\frac{H_A\cdot l_A}{l_C}=\frac{447\cdot 60}{70}=384\frac{А}{м}.$$

По кривой намагничивания находим, что H = 384 А/м соответствует индукция B_C = 0,89 Вб/м².

По уравнению (1) получим

$$\begin{array}{l}{Ф}_B={Ф}_A+{Ф}_C=B_A\cdot S_A+B_C\cdot S_C=\\ =\mathrm{0,95}\cdot 20\cdot {10}^{-4}+\mathrm{0,89}\cdot 20\cdot {10}^{-4}=\mathrm{36,8}\cdot {10}^{-4}Вб.\end{array}$$

Следовательно,

$$B_B=\frac{{Ф}_B}{S_B}=\frac{\mathrm{36,8}\cdot {10}^{-4}}{40\cdot {10}^{-4}}=\mathrm{0,92}\frac{Вб}{{м}^2}.$$

Этой индукции по кривой намагничивания соответствует H_B = 417 А/м. По уравнению (2) найдем

I·w = H_B·l_B + H_C·l_C = 417·0,25 + 384·0,7 = 373 А.

Искомый ток

$$I=\frac{F}{w}=\frac{373}{500}\approx \mathrm{0,75}А.$$

---

Задача 2.7. Магнитная цепь изготовлена из листовой электротехнической стали Э11. На средний стержень сердечника намотана катушка, содержащая w = 930 витков, по которым проходит ток I = 1 А (рис. 2.8). На всем участке A сечение магнитной цепи считать S_A = 20 см², на участке B — S_B = 40 см², на участке С — S_C = 20 см². Длины средних линий магнитной индукции каждого из участков считать равными: l_A = 55 см, l_B = 25 см, l_C = 80 см.

Найти значения магнитной индукции во всех стержнях.

Решение

Выберем на рис. 2.8 пути средних линий магнитной индукции и запишем уравнения:

для узла n

                                                Ф_B = Ф_A + Ф_C;                                       (1)

для контура npqn

                                             H_B·l_B + H_C·l_C = I·w;                                (2)

для контура npqmn

                                              H_C·l_C — H_A·l_A = 0.                                     (3)

Построим кривые зависимостей

Ф_A = f₁ (H_A·l_A) = f₁ (U_Mnq);

Ф_B = f₂ (I·w — H_B·l_B) = f₂ (U_Mnq);

Ф_C = f₃ (H_C·l_C) = f₃ (U_Mnq).

Здесь U_Mnq — разность скалярных магнитных потенциалов точек n и q, или магнитодвижущая сила между теми же точками.

Для построения кривой f₁ задаемся различными величинами магнитных потоков Ф_A, по которым находим соответствующие им значения магнитной индукции B_A, для которых по кривой намагничивания определяем напряженность магнитного поля H_A. Беря произведение H_A·l_A, находим для различных потоков значения магнитных напряжений на участке A. Результаты вычислений сводим в таблицу. Таким же путем производим расчет для построения кривой на участке C. Наконец, для построения кривой f₂ (участок B) задаемся значениями Ф_B и по ним находим B_B, H_B, H_B·l_B и разность I·w — H_B·l_B. Указанные вычисления сведены в таблицу.

ФА, 10–4 Вб	BA, Вб/м2	HA, А/м	HAlA, А	ФC, 10–4 Вб	BC, Вб/м2	HC, А/м	HClC, А	ФB, 10–4 Вб	BB, Вб/м2	HB, А/м	HBlB, А	Iw–HBlB, Девушки, зарегистрированные на сайте "https://blagoveshensksm.com", всегда готовы предоставить вам их внимание и заботу. Безопасность личных данных и конфиденциальность встречи являются главными принципами работы сайта https://fryazinosm.com. А
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	930
10	0,5	171	94	10	0,5	171	137	20	0,5	171	43	887
12	0,6	211	116	12	0,6	211	169	24	0,6	211	53	877
14	0,7	261	143	14	0,7	261	209	28	0,7	261	65	865
16	0,8	318	175	16	0,8	318	254	32	0,8	318	80	850
18	0,9	397	218	18	0,9	397	318	36	0,9	397	99	831
20	1,0	502	276	20	1,0	502	402	40	1,0	502	126	804
22	1,1	647	356	22	1,1	647	518	44	1,1	647	162	768
24	1,2	843	463	24	1,2	843	675	48	1,2	843	210	720
26	1,3	1140	626	26	1,3	1140	913	52	1,3	1140	285	645
28	1,4	1580	870	28	1,4	1580	1265	56	1,4	1580	395	535
30	1,5	2500	1375	30	1,5	2500	2000	60	1,5	2500	625	305

По этим данным построены кривые Ф_A, Ф_B, Ф_C (рис. 2.9).

Рис. 2.9

Так как величины магнитных потоков должны удовлетворять уравнению (1), то проводим еще одну вспомогательную кривую Ф_B = Ф_A + Ф_C; она строится путем суммирования ординат кривых Ф_A и Ф_C для одних и тех же значений абсцисс. Точка m ее пересечения с кривой Ф_B = f₂ (I·w — H_B·l_B) определяет величину искомого потока

Ф_B = 50,4·10^–4 Вб.

Перпендикуляр mm', опущенный из m на ось абсцисс, пересечет кривую Ф_A в точке n, а кривую Ф_C — в точке p, отрезок nm' выражает искомый магнитный поток в стержне A:

Ф_A = 26,4·10^–4 Вб, а отрезок pm' — поток Ф_C = 24·10^–4 Вб.

По найденным потокам находим магнитные индукции в каждом из стержней:

$$\begin{array}{l}{B}_A=\frac{{Ф}_A}{S_A}=\frac{\mathrm{26,4}\cdot {10}^{-4}}{20\cdot {10}^{-4}}=\mathrm{1,32}\frac{Вб}{{м}^2};\\ B_B=\frac{{Ф}_B}{S_B}=\frac{\mathrm{50,4}\cdot {10}^{-4}}{40\cdot {10}^{-4}}=\mathrm{1,26}\frac{Вб}{{м}^2};\\ B_C=\frac{{Ф}_C}{S_C}=\frac{\mathrm{24,0}\cdot {10}^{-4}}{20\cdot {10}^{-4}}=\mathrm{1,20}\frac{Вб}{{м}^2}.\end{array}$$

Проверка. Можно убедиться, что при найденных значениях магнитных индукций удовлетворяются уравнения (1) — (3). Для этого по кривой намагничивания надо найти для каждого значения B соответствующее значение H и подставить в указанные уравнения.

---

Задача 2.8. Сердечник собран из листов электротехнической стали марки Э11. Форма и размеры сердечника (в мм) указаны на рис. 2.10.

Рис. 2.10

Обмотка имеет w = 400 витков, по которым проходит ток I = 3,5 А. Длина воздушного зазора составляет 1 мм. Определить магнитный поток в сердечнике. При расчете следует считать, что сечение воздушного зазора равно сечению сердечника.

Задачу решить следующими аналитическими методами: а) линейной аппроксимации, б) кусочно-линейной аппроксимации, в) дробно-линейной аппроксимации.

Результаты, полученные для каждого из случаев, сравнить с теми, какие получаются при решении задачи обычным способом.

Решение

Найдем длину средней линии магнитной индукции и сечение стального сердечника (рис. 2.10):

l₁ = 2· (90 — 8) + 2· (46 — 8) = 240 мм = 0,24 м;

S₁ = 8·5 = 40 мм² = 0,4·10^–4 м².

Длина средней линии магнитной индукции в воздушном зазоре и его сечение равны:

l₂ = 1 мм = 1·10^–3 м;

S₂ = 8·5 = 40 мм² = 0,4·10^–4 м².

Решая задачу способом, указанным в решении задачи 2.4, найдем магнитную индукцию B = 1,35 Вб/м² и соответствующий магнитный поток

Ф = B·S = 1,35·0,4·10^–4 = 0,54·10^–4 Вб.

а) Расчет магнитной цепи методом линейной аппроксимации кривой намагничивания

Здесь расчет магнитной цепи основан на замене рабочей части кривой намагничивания прямой линией в некоторой области изменения магнитной индукции. Примем, например, что магнитная индукция изменяется в пределах от нуля до 1,5 Вб/м². Заменим кривую намагничивания (рис. 2.11) прямой линией 0b.

Рис. 2.11

Ее уравнение B = k₁·H, здесь коэффициент k₁ равен тангенсу угла наклона прямой 0b к оси абсцисс и выражает приближенное значение абсолютной магнитной проницаемости стали в рассматриваемом интервале

$${\mu }_{a1}={\mu }_{r1}\cdot {\mu }_0=k_1=\frac{B}{H}=\frac{\mathrm{1,5}}{2500}=6\cdot {10}^{-4}\frac{Гн}{м}.$$

Искомый магнитный поток определяем по уравнению:

$$Ф=\frac{I\cdot w}{R_{M1}+R_{M2}},$$

где

$R_{M1}=\frac{l_1}{{\mu }_{a1}\cdot S_1}=\frac{l_1}{{\mu }_{r1}{\mu }_0\cdot S_1};R_{M2}=\frac{l_2}{{\mu }_0\cdot S_2}$ — магнитные сопротивления, соответственно стальной части и воздушного зазора.

Производим вычисления:

$$\begin{array}{l}{R}_{M1}=\frac{l_1}{{\mu }_{a1}\cdot S_1}=\frac{\mathrm{0,24}}{6\cdot {10}^{-4}\cdot \mathrm{0,4}\cdot {10}^{-4}}=\mathrm{1,0}\cdot {10}^7\frac{1}{Гн};\\ R_{M2}=\frac{l_2}{{\mu }_0\cdot S_2}=\frac{1\cdot {10}^{-3}}{4\pi \cdot {10}^{-7}\cdot \mathrm{0,4}\cdot {10}^{-4}}=\mathrm{1,98}\cdot {10}^7\frac{1}{Гн};\\ Ф=\frac{I\cdot w}{R_{M1}+R_{M2}}=\frac{\mathrm{3,5}\cdot 400}{\mathrm{1,0}\cdot {10}^7+\mathrm{1,98}\cdot {10}^7}=\mathrm{0,47}\cdot {10}^{-7}Вб.\end{array}$$

Ошибка в сравнении с результатами, полученными обычным способом, составляет

$$\frac{\mathrm{0,54}\cdot {10}^{-4}-\mathrm{0,47}\cdot {10}^{-4}}{\mathrm{0,54}\cdot {10}^{-4}}\cdot 100\%\approx 13\%.$$

б) Расчет магнитной цепи методом кусочно-линейной аппроксимации кривой намагничивания

Здесь расчет магнитной цепи основан на замене рабочей части кривой намагничивания отрезками прямых линий, например, из двух прямых отрезков 0a и ab (рис. 2.11).

Предполагается, что рабочий режим лежит в области индукций между B₁ и B₂, соответствующих точкам a и b.

Уравнение прямой ab, выражающей зависимость магнитной индукции от напряженности магнитного поля в стали, имеет вид:

$$B_{ст}=B_1+k_2\cdot \left(H_{ст}-H_1\right), \; (1)$$

где k₂ — тангенс угла наклона прямой ab с осью абсцисс:

$$k_2=\frac{B_2-B_1}{H_2-H_1}. \; (2)$$

Напряженность магнитного поля в воздухе может быть выражена следующим образом:

$$H_{в}=\frac{B_{в}}{{\mu }_0}=\frac{Ф}{{\mu }_0\cdot S_2}=\frac{B_{ст}\cdot S_1}{{\mu }_0\cdot S_2}=\frac{B_{ст}}{{{\mu }^{\prime }}_0}, \; (3)$$

где ради краткости обозначено

$${{\mu }^{\prime }}_0={\mu }_0\cdot \frac{S_2}{S_1}. \; (4)$$

Подставляя в уравнение (3) вместо B_ст его значение из уравнения (1), получим:

$$H_{в}=\left[B_1+k_2\cdot \left(H_{ст}-H_1\right)\right]\cdot \frac{1}{{{\mu }^{\prime }}_0}. \; (5)$$

Для определения H_ст воспользуемся уравнением второго закона Кирхгофа для магнитной цепи (законом полного тока)

H_ст·l₁ + H_в·l₂ = I·w.          (6)

Подставляя в уравнение (6) значение Н_в из уравнения (5), будем иметь:

$$H_{ст}\cdot l_1+\frac{B_1\cdot l_2}{{{\mu }^{\prime }}_0}+\frac{k_2\cdot l_2}{{{\mu }^{\prime }}_0}\cdot \left(H_{ст}-H_1\right)=I\cdot w.$$

Решая это алгебраическое уравнение относительно H_ст, найдем:

$$H_{ст}=\frac{I\cdot w\cdot {{\mu }^{\prime }}_0-B^{\prime }\cdot l_2}{{{\mu }^{\prime }}_0\cdot l_1+k_2\cdot l_2}, \; (7)$$

где

$$B^{\prime }=B_1-k_2\cdot H_1. \; (8)$$

Величина магнитной индукции в стали находится путем подстановки найденного значения H_с в уравнение (1):

$$B_{ст}={{\mu }^{\prime }}_0\cdot \frac{I\cdot w\cdot k_2+B^{\prime }\cdot l_1}{{{\mu }^{\prime }}_0\cdot l_1+k_2\cdot l_2}, \; (9)$$

Для нашей задачи выберем ломаную так, что:

в точке a

B₁ = 1,2 Вб/м², соответствующее H₁ = 843 А/м,

в точке b

B₂ = 1,5 Вб/м², соответствующее H₂ = 2500 А/м.

По формулам (2), (4), (8), (7) и (1) находим:

$$\begin{array}{l}{k}_2=\frac{B_2-B_1}{H_2-H_1}=\frac{\mathrm{1,5}-\mathrm{1,2}}{2500-843}=\mathrm{18,15}\cdot {10}^{-5}\frac{Гн}{м};\\ {{\mu }^{\prime }}_0={\mu }_0\cdot \frac{S_2}{S_1}={\mu }_0\cdot \frac{\mathrm{0,4}\cdot {10}^{-4}}{\mathrm{0,4}\cdot {10}^{-4}}={\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}\frac{Гн}{м};\\ B^{\prime }=B_1-k_2\cdot H_1=\mathrm{1,2}-\mathrm{18,15}\cdot {10}^{-5}\cdot 843=\mathrm{1,05}\frac{Вб}{{м}^2};\\ H_{ст}=\frac{I\cdot w\cdot {{\mu }^{\prime }}_0-B^{\prime }\cdot l_2}{{{\mu }^{\prime }}_0\cdot l_1+k_2\cdot l_2}=\frac{\mathrm{3,5}\cdot 400\cdot 4\pi \cdot {10}^{-7}-\mathrm{1,05}\cdot 1\cdot {10}^{-3}}{4\pi \cdot {10}^{-7}\cdot \mathrm{0,24}+\mathrm{18,15}\cdot {10}^{-5}\cdot 1\cdot {10}^{-3}}=1470\frac{А}{м};\\ B_{ст}=B_1+k_2\cdot \left(H_{ст}-H_1\right)=\mathrm{1,2}+\mathrm{18,15}\cdot {10}^{-5}\cdot \left(1470-843\right)=\mathrm{1,314}\frac{Вб}{{м}^2}.\end{array}$$

И, наконец, искомый поток

Ф = B_ст·S₁ = 1,314·0,4·10^–4 = 0,525·10^–4 Вб.

Ошибка по сравнению с обычным способом расчета составляет

$$\frac{\mathrm{0,54}\cdot {10}^{-4}-\mathrm{0,525}\cdot {10}^{-4}}{\mathrm{0,54}\cdot {10}^{-4}}\cdot 100\%\approx 3\%.$$

в) Расчет магнитной цепи методом дробно-линейной аппроксимации кривой намагничивания

Дробно-линейная аппроксимация делается посредством уравнения:

$$B_{ст}=\frac{H_{ст}}{\alpha +\beta \cdot H_{ст}}. \; (10)$$

Входящие сюда коэффициенты $\alpha и\beta$ находятся из известных значений магнитной индукции и напряженности магнитного поля в двух выбранных точках кривой намагничивания, между которыми ожидается действительный режим работы стального участка магнитной цепи.

Для определения Н_ст поступим следующим образом: из уравнения (10) значение В_ст подставим в уравнение (3), тогда получим:

$$H_{в}=\frac{B_{ст}}{{{\mu }^{\prime }}_0}=\frac{H_{ст}}{{{\mu }^{\prime }}_0\cdot \left(\alpha +\beta \cdot H_{ст}\right)}.$$

Это значение Н_в подставим в уравнение (6) второго закона Кирхгофа для магнитной цепи (закона полного тока):

$$H_{ст}\cdot l_1+\frac{H_{ст}\cdot l_2}{{{\mu }^{\prime }}_0\cdot \left(\alpha +\beta \cdot H_{ст}\right)}=I\cdot w.$$

Решая относительно Н_ст это квадратное уравнение, найдем:

$$H_{ст}=\frac{1}{2}\left(\frac{I\cdot w}{l_1}-\frac{1+p}{q}\right)+\sqrt{\frac{1}{4}{\left(\frac{I\cdot w}{l_1}-\frac{1+p}{q}\right)}^2+\frac{I\cdot w}{q\cdot l_1}}. \; (11)$$

Второй корень квадратного уравнения, как не имеющий физического смысла, ввиду того что Н_ст должна выражаться положительным числом, опущен.

В уравнении (11) введены ради краткости обозначения:

$$p=\frac{l_2\cdot S_1}{l_1\cdot S_2\cdot {\mu }_0\cdot \alpha };q=\frac{\beta }{\alpha }. \; (12)$$

Проведем числовые расчеты для нашей задачи, принимая для B и H те числовые значения, какие они имеют на границах рассматриваемого интервала в указанных выше точках a и b. По уравнению (10) имеем:

$$\mathrm{1,2}=\frac{843}{\alpha +\beta \cdot 843};\mathrm{1,5}=\frac{2500}{\alpha +\beta \cdot 2500}.$$

Решая эти два уравнения, найдем:

$$\alpha =213\frac{м}{Гн};\beta =\mathrm{0,581}\frac{{м}^2}{Вб}.$$

Далее по формулам (12), (13), (11) и (10) получим:

$$\begin{array}{l}p=\frac{l_2\cdot S_1}{l_1\cdot S_2\cdot {\mu }_0\cdot \alpha }=\frac{1\cdot {10}^{-3}\cdot \mathrm{0,4}\cdot {10}^{-4}}{\mathrm{0,24}\cdot \mathrm{0,4}\cdot {10}^{-4}\cdot 4\pi \cdot {10}^{-7}\cdot \alpha }213=\mathrm{15,6};\\ q=\frac{\beta }{\alpha }=\frac{\mathrm{0,581}}{213}=\mathrm{2,73}\cdot {10}^{-3}\frac{м}{А};\\ \frac{I\cdot w}{q\cdot l_1}=\frac{\mathrm{3,5}\cdot 400}{\mathrm{2,73}\cdot {10}^{-3}\cdot \mathrm{0,24}}=\mathrm{2,14}\cdot {10}^6\frac{{А}^2}{{м}^2};\\ \frac{1}{2}\left(\frac{I\cdot w}{l_1}-\frac{1+p}{q}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{3,5}\cdot 400}{\mathrm{0,24}}-\frac{\mathrm{16,6}}{\mathrm{2,73}\cdot {10}^{-3}}\right)=-125;\\ H_{ст}=\frac{1}{2}\left(\frac{I\cdot w}{l_1}-\frac{1+p}{q}\right)+\sqrt{{\left[\frac{1}{2}\left(\frac{I\cdot w}{l_1}-\frac{1+p}{q}\right)\right]}^2+\frac{I\cdot w}{q\cdot l_1}}=\\ =-125+\sqrt{{125}^2+\mathrm{2,14}\cdot {10}^6}=-125+1515=1390\frac{А}{м};\\ B_{ст}=\frac{H_{ст}}{\alpha +\beta \cdot H_{ст}}=\frac{1390}{213+\mathrm{0,581}\cdot 1390}=\mathrm{1,363}\frac{Вб}{{м}^2}.\end{array}$$

Искомый магнитный поток равен:

Ф = B_ст·S₁ = 1,363·0,4·10^–4 = 0,545·10^–4 Вб.

Ошибка в сравнении с обычным методом расчета магнитных цепей составляет:

$$\frac{\mathrm{0,545}\cdot {10}^{-4}-\mathrm{0,54}\cdot {10}^{-4}}{\mathrm{0,545}\cdot {10}^{-4}}\cdot 100\%\approx \mathrm{0,9}\%.$$

Отметим, что расчет при помощи дробно-линейной аппроксимации приводит к удовлетворительным результатам даже в тех случаях, когда велико расстояние между граничными точками.

закон полного тока, магнитная цепь, расчет магнитной цепи, методы расчета магнитных цепей, решение задач магнитные цепи