Расчет электрической цепи постоянного тока с конденсаторами

Основные положения и соотношения

1. Общее выражение емкости конденсатора

$C=\frac{Q}{U}.$

2. Емкость плоского конденсатора

$C=\frac{{\epsilon }_a\cdot S}{d}=\frac{{\epsilon }_r\cdot {\epsilon }_0\cdot S}{d},$

здесь

S — поверхность каждой пластины конденсатора;

d — расстояние между ними;

ε_a = ε_r·ε₀ — абсолютная диэлектрическая проницаемость среды;

ε_r — диэлектрическая проницаемость среды (относительная диэлектрическая проницаемость);

${\epsilon }_0=\frac{1}{4\pi \cdot {с}^2\cdot {10}^{-7}}\approx \mathrm{8,85418782}\cdot {10}^{-12}\frac{Ф}{м}$  – электрическая постоянная.

3. При параллельном соединении конденсаторов С₁, С₂, …, С_n эквивалентная емкость равна

$C=C_1+C_2+\mathrm{\dots }+C_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{C}_k}.$

4. При последовательном соединении конденсаторов эквивалентная емкость определяется из формулы

$\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{C_n}={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{C_k}}.$

Для двух последовательно соединенных конденсаторов эквивалентная емкость составляет:

$C=\frac{C_1\cdot C_2}{C_1+C_2},$

а напряжения между отдельными конденсаторами распределяются обратно пропорционально их емкостям:

$U_1=U\cdot \frac{C_2}{C_1+C_2};U_2=U\cdot \frac{C_1}{C_1+C_2}.$

5. Преобразование звезды емкостей в эквивалентный треугольник емкостей или обратно (рис. а и б)

Рис. 0

осуществляется по формулам:

$\begin{array}{l}Y\to \Delta \\ \{\begin{array}{l}{C}_{12}=\frac{C_1\cdot C_2}{\Sigma C};C_{13}=\frac{C_1\cdot C_3}{\Sigma C};C_{23}=\frac{C_2\cdot C_3}{\Sigma C},\\ где\\ \Sigma C=C_1+C_2+C_3,\end{array}\\ \Delta \to Y\\ \{\begin{array}{l}{C}_1=C_{12}+C_{13}+\frac{C_{12}\cdot C_{13}}{C_{23}};\\ C_2=C_{12}+C_{23}+\frac{C_{12}\cdot C_{23}}{C_{13}};\\ C_3=C_{13}+C_{23}+\frac{C_{13}\cdot C_{23}}{C_{12}}.\end{array}\end{array}$

6. Энергия электростатического поля конденсатора:

$W=\frac{C\cdot U^2}{2}=\frac{Q\cdot U}{2}=\frac{Q^2}{2C}.$

7. Расчет распределения зарядов в сложных цепях, содержащих источники э.д.с. и конденсаторы, производится путем составления уравнений по двум законам:

1) По закону сохранения электричества (закон сохранения электрического заряда): алгебраическая сумма зарядов на обкладках конденсаторов, соединенных в узел и не подключенных к источнику энергии, равна алгебраической сумме зарядов, имевшихся на этих обкладках до их соединения:

$\Sigma Q=\Sigma Q^{\prime }.$

2) По второму закону Кирхгофа: алгебраическая сумма э. д. с. в замкнутом контуре равна алгебраической сумме напряжений на участках контура, в том числе на входящих в него конденсаторах:

${\displaystyle \sum _{k=1}^n{E}_k}={\displaystyle \sum _{k=1}^n{U}_{Ck}}={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{Q_k}{C_k}}.$

Приступая к решению задачи, надо задаться полярностью зарядов на обкладках конденсаторов.

Решение задач на расчет электрической цепи постоянного тока с конденсаторами

Задача. Доказать формулу эквивалентной емкости при последовательном соединении конденсаторов (рис. 1).

Рис. 1

Решение

На рис. 1 представлено последовательное соединение трех конденсаторов. Если батарею конденсаторов подключить к источнику напряжения U₁₂, то на левую пластину конденсатора С₁ перейдет заряд +q, на правую пластину конденсатора С₃ заряд –q.

Вследствие электризации через влияние правая пластина конденсатора С₁ будет иметь заряд –q, а так как пластины конденсаторов С₁ и С₂ соединены и были электронейтральны, то вследствие закона сохранения заряда заряд левой пластины конденсатора C₂ будет равен +q, и т. д. На всех пластинах конденсаторов при таком соединении будет одинаковый по величине заряд.

Найти эквивалентную емкость — это значит найти конденсатор такой емкости, который при той же разности потенциалов будет накапливать тот же заряд q, что и батарея конденсаторов.

Разность потенциалов U₁₂ = φ₁ — φ₂ складывается из суммы разностей потенциалов между пластинами каждого из конденсаторов

$U_{12}={\phi }_1-{\phi }_2=\left({\phi }_1-{\phi }_A\right)+\left({\phi }_A-{\phi }_B\right)+\left({\phi }_B-{\phi }_2\right)=U_{1A}+U_{AB}+U_{B2}.$

Воспользовавшись формулой напряжения на конденсаторе

$U=\frac{q}{C},$

запишем

$\frac{q}{C}=\frac{q}{C_1}+\frac{q}{C_2}+\frac{q}{C_3}.$

Откуда эквивалентная емкость батареи из трех последовательно включенных конденсаторов

$\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3}.$

В общем случае эквивалентная емкость при последовательном соединении конденсаторов

$\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{C_n}={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{C_k}}.$

Задача 1. Определить заряд и энергию каждого конденсатора на рис. 2, если система подключена в сеть с напряжением U = 240 В.

Рис. 2

Емкости конденсаторов: C₁ =50 мкФ; C₂ =150 мкФ; C₃ =300 мкФ.

Решение

Эквивалентная емкость конденсаторов C₁ и C₂, соединенных параллельно

C₁₂ = C₁ + C₂ = 200 мкФ,

эквивалентная емкость всей цепи равна

$C=\frac{C_{12}\cdot C_3}{C_{12}+C_3}=\frac{200\cdot 300}{500}=120мкФ.$

Заряд на эквивалентной емкости

Q = C·U = 120·10^–6·240 = 288·10^–4 Кл.

Той же величине равен заряд Q₃ на конденсаторе C₃, т.е. Q₃ = Q = 288·10^–4 Кл; напряжение на этом конденсаторе

$U_3=\frac{Q_3}{C_3}=\frac{288\cdot {10}^{-4}}{300\cdot {10}^{-6}}=96В.$

Напряжение на конденсаторах C₁ и C₂ равно

U₁ = U₂ = U — U₃ = 240 — 96 = 144 В.

их заряды имеют следующие значения

Q₁ = C₁·U₁ = 50·10^–6·144 = 72·10^–4 Кл;

Q₂ = C₂·U₂ = 150·10^–6·144 = 216·10^–4 Кл.

Энергии электростатического поля конденсаторов равны

$\begin{array}{l}{W}_1=\frac{Q_1\cdot U_1}{2}=\frac{72\cdot {10}^{-4}\cdot 144}{2}\approx \mathrm{0,52}Дж;\\ W_2=\frac{Q_2\cdot U_2}{2}=\frac{216\cdot {10}^{-4}\cdot 144}{2}\approx \mathrm{1,56}Дж;\\ W_3=\frac{Q_3\cdot U_3}{2}=\frac{288\cdot {10}^{-4}\cdot 96}{2}\approx \mathrm{1,38}Дж.\end{array}$

Задача 2. Плоский слоистый конденсатор (рис. 3), поверхность каждой пластины которого S = 12 см², имеет диэлектрик, состоящий из слюды (ε_r1 = 6) толщиною d₁ = 0,3 мм и стекла (ε_r2 = 7) толщиною d₂ =0,4 мм.

Пробивные напряженности слюды и стекла соответственно равны E₁ = 77 кВ/мм, E₂ = 36 кВ/мм.

Рис. 3

Вычислить емкость конденсатора и предельное напряжение, на которое его можно включать, принимая для более слабого слоя двойной запас электрической прочности.

Решение

Эквивалентная емкость слоистого конденсатора определится как емкость двух последовательно соединенных конденсаторов

$C=\frac{C_1\cdot C_2}{C_1+C_2}=\frac{\frac{{\epsilon }_{a1}\cdot S}{d_1}\cdot \frac{{\epsilon }_{a2}\cdot S}{d_2}}{\frac{{\epsilon }_{a1}\cdot S}{d_1}+\frac{{\epsilon }_{a2}\cdot S}{d_2}}=\frac{{\epsilon }_{a1}\cdot {\epsilon }_{a2}\cdot S}{{\epsilon }_{a1}\cdot d_2+{\epsilon }_{a2}\cdot d_1}.$

Подставляя сюда числовые значения, предварительно заменив ε_a1 = ε_r1·ε₀ и ε_a2 = ε_r2·ε₀, получим

$C=\frac{{\epsilon }_0\cdot {\epsilon }_{r1}\cdot {\epsilon }_{r2}\cdot S}{{\epsilon }_{r1}\cdot d_2+{\epsilon }_{r2}\cdot d_1}=\mathrm{8,85}\cdot {10}^{-12}\cdot \frac{6\cdot 7\cdot 12\cdot {10}^{-4}}{6\cdot \mathrm{0,4}\cdot {10}^{-3}+7\cdot \mathrm{0,3}\cdot {10}^{-3}}=99\cdot {10}^{-12}Ф.$

Обозначим общее напряжение, подключаемое к слоистому конденсатору, через U_пр, при этом заряд конденсатора будет равен

Q = C·U_пр.

Напряжения на каждом слое будут равны

$\begin{array}{l}{U}_1=\frac{Q}{C_1}=\frac{C\cdot U_{пр}}{\frac{{\epsilon }_{a1}\cdot S}{d_1}}=\frac{{\epsilon }_{a2}\cdot d_1}{{\epsilon }_{a1}\cdot d_2+{\epsilon }_{a2}\cdot d_1}\cdot U_{пр};\\ U_2=\frac{Q}{C_2}=\frac{C\cdot U_{пр}}{\frac{{\epsilon }_{a2}\cdot S}{d_2}}=\frac{{\epsilon }_{a1}\cdot d_2}{{\epsilon }_{a1}\cdot d_2+{\epsilon }_{a2}\cdot d_1}\cdot U_{пр}.\end{array}$

Напряженности электростатического поля в каждом слое

$\begin{array}{l}{E}_1=\frac{U_1}{d_1}=\frac{{\epsilon }_{a2}}{{\epsilon }_{a1}\cdot d_2+{\epsilon }_{a2}\cdot d_1}\cdot {U^{\prime }}_{пр};\\ E_2=\frac{U_2}{d_2}=\frac{{\epsilon }_{a1}}{{\epsilon }_{a1}\cdot d_2+{\epsilon }_{a2}\cdot d_1}\cdot {U^{″}}_{пр}.\end{array}$

Здесь U'_np — общее напряжение, подключаемое к конденсатору, при котором пробивается первый слой, a U''_np — общее напряжение, при котором происходит пробой второго слоя.

Из последнего выражения находим

$\begin{array}{l}{U^{\prime }}_{пр}=E_1\cdot \frac{{\epsilon }_{a1}\cdot d_2+{\epsilon }_{a2}\cdot d_1}{{\epsilon }_{a2}}=\mathrm{49,5}кВ;\\ {U^{″}}_{пр}=E_2\cdot \frac{{\epsilon }_{a1}\cdot d_2+{\epsilon }_{a2}\cdot d_1}{{\epsilon }_{a1}}=\mathrm{27,0}кВ.\end{array}$

Таким образом, более слабым слоем является второй; согласно условию, принимая для него двойной запас прочности, находим, что конденсатор может быть включен на напряжение, равное

мастерская ремонт кресел.

27,0 кВ / 2 = 13,5 кВ.

Задача 3. Обкладки плоского конденсатора с воздушным диэлектриком расположены на расстоянии d₁ = 1 см друг от друга. Площадь обкладок S = 50 см². Конденсатор заряжается до напряжения U = 120 В и затем отсоединяется от источника электрической энергии.

Определить, какую надо совершить работу, если увеличить расстояние между пластинами до d₂ = 10 см. Краевым эффектом можно пренебречь; другими словами, емкость конденсатора можно считать обратно пропорциональной расстоянию между обкладками.

Решение

Энергия заряженного плоского конденсатора равна

$W_1=\frac{C_1\cdot U^2}{2}=\frac{{\epsilon }_0\cdot S}{d_1}\cdot \frac{U^2}{2},$

где С₁ — емкость до раздвижения обкладок.

Так как конденсатор отключен от источника, то при изменении расстояния между обкладками его заряд остается постоянным. Поэтому из~ соотношения

Q = C₂·U₂,

где C₂ — емкость конденсатора после раздвижения обкладок, следует, что, так как C₂ = ε₀·S/d₂ стало меньше в 10 раз (d₂ увеличилось в 10 раз), то напряжение на конденсаторе U₂ увеличилось в 10 раз, т. е. U₂ = 10U.

Таким образом, энергия конденсатора после отключения и раздвижения обкладок на расстояние d₂ будет больше первоначальной

$W_2=\frac{{\epsilon }_0\cdot S}{d_2}\cdot \frac{U_2^2}{2}=\frac{{\epsilon }_0\cdot S}{10d_1}\cdot \frac{{\left(10U\right)}^2}{2}=10\cdot \frac{{\epsilon }_0\cdot S}{d_1}\cdot \frac{U^2}{2}=10\cdot W_1.$

Увеличение энергии произошло за счет работы внешних сил, затраченной на раздвижение обкладок.

Таким образом, надо совершить работу, равную

$W_2-W_1=9\cdot W_1=9\cdot \frac{{\epsilon }_0\cdot S}{d_1}\cdot \frac{U^2}{2}=\mathrm{2,86}\cdot {10}^{-7}Дж.$

Задача 4. Для схемы (рис. 4) определить напряжение каждого конденсатора в двух случаях: при замкнутом и разомкнутом ключе К.

Даны: C₁ = 30 мкФ; C₂ = 20 мкФ; r₁ = 100 Ом. r₂ = 400 Ом. r₃ = 600 Ом, U = 20 В.

Решение

Ключ К разомкнут. Конденсаторы соединены между собой последовательно; их ветвь находится под полным напряжением источника; напряжение распределяется между ними обратно пропорционально емкостям

$\begin{array}{l}{U}_1=\frac{C_2}{C_1+C_2}\cdot U=\frac{20\cdot {10}^{-6}}{30\cdot {10}^{-6}+20\cdot {10}^{-6}}\cdot 20=8В;\\ U_2=U-U_1=20-8=12В.\end{array}$

Рис. 4

Ключ К замкнут. Через сопротивления r₁ и r₂ протекает ток

$I=\frac{U}{r_1+r_2}=\frac{20}{500}=\mathrm{0,04}А,$

а через сопротивление r₃ ток не протекает.

Поэтому точки c и d равнопотенциальны (φ_c = φ_d). Следовательно, напряжение между точками a и c (U_ac = φ_a — φ_c) равно напряжению между точками a и d (U_ad = φ_a — φ_d).

Таким образом, напряжение на первом конденсаторе равно падению напряжения на сопротивлении r₁

U_C1 = I·r₁ = 0,04·100 = 4 В.

Аналогично напряжение на втором конденсаторе равно

U_C2 = I·r₂ = 0,04·400 = 16 В.

Задача 5. Определить напряжение на зажимах конденсаторов и их энергию после перевода рубильника из положения 1 в положение 2, показанное пунктиром на рис. 5, если U = 25 В; C₁ = 5 мкФ; C₂ = 120 мкФ. Конденсатор C₂ предварительно не был заряжен.

Рис. 5

Решение

Когда рубильник находится в положении 1, то конденсатор C₁ заряжен до напряжения U и его заряд равен

Q = C₁·U = 5·10^–6·25 = 125·10^–6 Кл.

После перевода рубильника в положение 2, заряд Q распределяется между конденсаторами C₁ и C₂ (рис. 5). Обозначим эти заряды через Q'₁ и Q'₂.

На основании закона сохранения электричества имеем

Q = Q'₁ + Q'₂ = 125 10^–6 Кл. (1)

По второму закону Кирхгофа имеем

$0=U_{C1}-U_{C2}=\frac{{Q^{\prime }}_1}{C_1}-\frac{{Q^{\prime }}_2}{C_2},$

или

$\frac{{Q^{\prime }}_1}{5\cdot {10}^{-6}}-\frac{{Q^{\prime }}_2}{120\cdot {10}^{-6}}=0.(2)$

Решая уравнения (1) и (2), найдем

Q'₁ = 5 10^–6 Кл; Q'₂ = 120 10^–6 Кл.

Напряжение на зажимах конденсаторов станет равным

$U_{C1}=\frac{{Q^{\prime }}_1}{C_1}=U_{C2}=\frac{{Q^{\prime }}_2}{C_2}=\frac{5\cdot {10}^{-6}}{5\cdot {10}^{-6}}=1В.$

Энергия обоих конденсаторов будет равна

$W=\frac{C_1\cdot U_{C1}^2}{2}+\frac{C_2\cdot U_{C2}^2}{2}=\mathrm{62,5}\cdot {10}^{-6}Дж.$

Подсчитаем энергию, которая была запасена в конденсаторе С₁, при его подключении к источнику электрической энергии

$W_{нач}=\frac{C_1\cdot U}{2}=\frac{5\cdot {10}^{-6}\cdot {25}^2}{2}=\mathrm{1562,5}\cdot {10}^{-6}Дж.$

Как видим, имеет место большая разница в запасе энергии до и после переключения. Энергия, равная 1562,5·10^–6 — 62,5·10^–6 = 1500·10^–6 Дж, израсходовалась на искру при переключении рубильника из положения 1 в положение 2 и на нагревание соединительных проводов при перетекании зарядов из конденсатора C₁ в конденсатор C₂ после перевода рубильника в положение 2.

Задача 6. Вычислить напряжение, которое окажется на каждом из конденсаторов схемы (рис. 6) после перевода рубильника К из положения 1 в положение 2.

Емкости конденсаторов равны: C₁ = 10 мкФ; C₂ = 30 мкФ; C₃ = 60 мкФ; напряжение U = 30 В, а э. д. с. E = 50 В.

Рис. 6

Решение

Рубильник находится в положении 1. Заряд конденсатора C₁ равен

Q₁ = C₁·U = 10·10^–6·30 = 0,3·10^–3 Кл.

В указанном положении рубильника конденсаторы C₂ и C₃ соединены последовательно друг с другом, поэтому их заряды равны: Q₂ = Q₃. Знаки зарядов показаны на рис. 6 отметками без кружков. По второму закону Кирхгофа имеем

$E=U_{C2}+U_{C3}=\frac{Q_2}{C_2}+\frac{Q_3}{C_3}=Q_2\cdot \frac{C_2+C_3}{C_2\cdot C_3},$

откуда

$Q_2=Q_3=\frac{C_2\cdot C_3}{C_2+C_3}\cdot E=\frac{30\cdot {10}^{-6}\cdot 60\cdot {10}^{-6}}{90\cdot {10}^{-6}}\cdot 50=1\cdot {10}^{-3}Кл.$

При переводе рубильника в положение 2 произойдет перераспределение зарядов. Произвольно задаемся новой полярностью зарядов на электродах (показана в кружках; предположена совпадающей с ранее имевшей место полярностью); соответствующие положительные направления напряжений на конденсаторах обозначены стрелками. Обозначим эти заряды через Q'₁, Q'₂ и Q'₃. Для их определения составим уравнения на основании закона сохранения электрических зарядов и второго закона Кирхгофа.

Для узла a

Q'₁ + Q'₂ — Q'₃ = Q₁ + Q₂ — Q₃. (1)

Для контура 2ebda2

$0={U^{\prime }}_{C1}-{U^{\prime }}_{C2}=\frac{{Q^{\prime }}_1}{C_1}-\frac{{Q^{\prime }}_2}{C_1}.$

Для контура bcadb

$E={U^{\prime }}_{C2}-{U^{\prime }}_{C3}=\frac{{Q^{\prime }}_2}{C_2}+\frac{{Q^{\prime }}_3}{C_3}.$

Уравнения (1) — (3), после подстановки числовых значений величин, примут вид

Q'₁ + Q'₂ — Q'₃ = 0,3·10^–3; (4)

3Q'₁ — Q'₂ = 0; (5)

2Q'₂ + Q'₃ = 3·10^–3. (6)

Решая совместно уравнения (4) — (6), получим

Q'₁ = 0,33·10^–3 Кл; Q'₂ = 0,99·10^–3 Кл; Q'₃ = 1,02·10^–3 Кл.

Так как знаки всех зарядов оказались положительными, то фактическая полярность обкладок соответствует предварительно выбранной.

Напряжения на конденсаторах после перевода рубильника будут равны

$\begin{array}{l}{U}_{C1}=\frac{{Q^{\prime }}_1}{C_1}=\frac{\mathrm{0,33}\cdot {10}^{-3}}{10\cdot {10}^6}=33В;\\ U_{C2}=\frac{{Q^{\prime }}_2}{C_2}=\frac{\mathrm{0,99}\cdot {10}^{-3}}{30\cdot {10}^6}=33В;\\ U_{C3}=\frac{{Q^{\prime }}_3}{C_3}=\frac{\mathrm{1,02}\cdot {10}^{-3}}{60\cdot {10}^6}=17В.\end{array}$

Задача 7. Определить заряд и напряжение конденсаторов, соединенных по схеме рис. 7, если C₁ = 5 мкФ; C₂ = 4 мкФ; C₃ = 3 мкФ; э. д. с. источников E₁ = 20 В и E₂ = 5 В.

Рис. 7

Решение

Составим систему уравнений на основании закона сохранения электричества и второго закона Кирхгофа, предварительно задавшись полярностью обкладок конденсаторов, показанной в кружках

$\begin{array}{l}-Q_1+Q_2-Q_3=0;\\ E_1=U_{C1}-U_{C3}=\frac{Q_1}{C_1}-\frac{Q_3}{C_3};\\ E_2=-U_{C2}-U_{C3}=-\frac{Q_2}{C_2}-\frac{Q_3}{C_3}.\end{array}$

Подставляя сюда числовые значения и решая эту систему уравнений, получим, что Q₁ = 50 мкКл; Q₂ = 20 мкКл; Q₃ = –30 мкКл.

Таким образом, истинная полярность зарядов на обкладках конденсаторов C₁ и C₂ соответствует выбранной, а у конденсатора C₃ — противоположна выбранной.

Задача 8. Пять конденсаторов соединены по схеме рис. 3-22, а, емкости которых C₁ = 2 мкФ; C₂ = 3 мкФ; C₃ = 5 мкФ; C₄ = 1 мкФ; C₅ = 2,4 мкФ.

Рис. 8

установка импланта straumann.

Определить эквивалентную емкость системы и напряжение на каждом из конденсаторов, если приложенное напряжение U = 10 В.

Решение

1-й способ. Звезду емкостей C₁, C₂ и C₃ (рис. 8, а) преобразуем в эквивалентный треугольник емкостей (рис. 8, б)

$\begin{array}{l}{C}_{12}=\frac{C_1\cdot C_2}{C_1+C_2+C_3}=\mathrm{0,6}мкФ;\\ C_{13}=\frac{C_1\cdot C_3}{C_1+C_2+C_3}=\mathrm{1,0}мкФ;\\ C_{23}=\frac{C_2\cdot C_3}{C_1+C_2+C_3}=\mathrm{1,5}мкФ.\end{array}$

Емкости C₁₂ и C₅ оказываются соединенными параллельно друг другу и подключенными к точкам 1 и 2; их эквивалентная емкость

C₆ = C₁₂ + C₅ = 3 мкФ.

Аналогично

C₇ = C₁₃ + C₄ = 2 мкФ.

Схема принимает вид изображенный на рис. 8, в. Емкость схемы между точками а и b равняется

$C_{ab}=C_{23}+\frac{C_6\cdot C_7}{C_6+C_7}=\mathrm{2,7}мкФ.$

Вычислим напряжение на каждом из конденсаторов.

На конденсаторе C₇ напряжение равно

$U_7=\frac{C_6}{C_6+C_7}\cdot U=6В.$

Таково же напряжение и на конденсаторах C₄ и C₁₃

U₄ = U₃₁ = 6 В.

Напряжение на конденсаторе C₆ равно

U₆ = U — U₇ = 4 В;

U₅ = U₁₂ = 4 В.

Вычислим заряды

Q₄ = C₄·U₄ = 6·10^–6 Кл;

Q₅ = C₅·U₅ = 9,6·10^–6 Кл;

Q₁₂ = C₁₂·U₁₂ = 6·10^–6 Кл;

Q₁₃ = C₁₃·U₃₁ = 2,4·10^–6 Кл.

По закону сохранения электричества для узла 1 схем 8, а и б имеем

–Q₄ — Q₁ + Q₅ = –Q₄ — Q₁₃ + Q₁₂ + Q₅,

отсюда

Q₁ = Q₁₃ — Q₁₂ = 3,6·10^–6 Кл,

а напряжение на конденсаторе, емкостью C₁ составляет

$U_1=\frac{Q_1}{C_1}=\mathrm{1,8}В.$

Далее находим напряжения и заряды на остальных конденсаторах

U₃₁ = U₁ + U₃,

отсюда

U₃ = U₃₁ — U₁ = 4,2 В;

Q₃ = C₃·U₃ = 21·10^–6 Кл,

также

U₁₂ = U₂ — U₁ = 4,2 В,

откуда

U₂ = U₁₂ + U₁ = 5,8 В;

Q₂ = C₂·U₂ = 17,4·10^–6 Кл.

Так как знаки всех зарядов оказались положительными, то фактическая полярность зарядов на обкладках совпадает с предварительно выбранной.

2-й способ. Выбрав положительные направления напряжений на конденсаторах (а тем самым и знаки зарядов на каждом из них) по формуле закона сохранения электричества (закона сохранения заряда) составляем два уравнения и по второму закону Кирхгофа три уравнения (рис. 8, а)

для узла 1

Q₅ — Q₁ — Q₄ = 0; (1)

для узла О

Q₁ + Q₂ — Q₃ = 0; (2)

для контура О13О

$\frac{Q_1}{C_1}-\frac{Q_4}{C_4}+\frac{Q_3}{C_3}=0;(3)$

для контура О12О

$\frac{Q_1}{C_1}+\frac{Q_5}{C_5}-\frac{Q_2}{C_2}=0;(4)$

для контура a3О2b

$\frac{Q_3}{C_3}+\frac{Q_2}{C_2}=U.(5)$

Система уравнений (1) — (5) — содержит пять неизвестных: Q₁, Q₂, Q₃, Q₄ и Q₅. Решив уравнения, найдем искомые заряды, а затем и напряжения на конденсаторах. При втором способе решения эквивалентную емкость схемы С_ab можно найти из отношения

$C_{ab}=\frac{Q}{U},$

где Q = Q₃ + Q₄, или Q = Q₂ + Q₅.

Задача 9. В схеме рис. 9 найти распределение зарядов, если E₁ = 20 В; E₂ = 7 В; C₁ = 7 мкФ; C₂ = 1 мкФ; C₃ = 3 мкФ; C₄ = 4 мкФ; C₅ = C₆ = 5 мкФ.

Рис. 9

Решение

При выбранном распределении зарядов (в кружках), как показано на схеме, система уравнений будет иметь вид:

для узла а

Q₁ + Q₂ + Q₃ = 0;

для узла b

–Q₃ — Q₄ — Q₅ = 0;

для узла c

–Q₁ + Q₄ + Q₆ = 0;

для контура afcba

$E_1=U_{C1}+U_{C4}-U_{C3}=\frac{Q_1}{C_1}+\frac{Q_4}{C_4}-\frac{Q_3}{C_3};$

ля контура gdbag

$E_2=U_{C5}-U_{C3}+U_{C2}=\frac{Q_5}{C_5}-\frac{Q_3}{C_3}+\frac{Q_2}{C_2};$

для контура cbdc

$0=U_{C4}-U_{C5}-U_{C6}=\frac{Q_4}{C_4}-\frac{Q_5}{C_5}-\frac{Q_6}{C_6}.$

Подставляя сюда числовые значения и решая полученную систему шести уравнений, найдем искомые заряды

Q₁ = 35 мкКл; Q₂ = –5 мкКл; Q₃ = –30 мкКл;

Q₄ = 20 мкКл; Q₅ = 10 мкКл; Q₆ = 15 мкКл.

Таким образом, истинные знаки зарядов Q₁, Q₄, Q₅ и Q₆ соответствуют выбранным, а знаки Q₂ и Q₃ противоположны выбранным.

Фактическое расположение знаков зарядов на конденсаторах дано не в кружках.

Задача 10. Определить заряд и энергию каждого конденсатора в схеме (рис. 10). Данные схемы: C₁ = 6 мкФ; C₂ = 2 мкФ; C₃ = 3 мкФ; r₁ = 500 Ом; r₂ = 400 Ом; U = 45 В.

Рис. 10

Решение

Через сопротивления протекает ток

$I=\frac{U}{r_1+r_2}=\mathrm{0,05}А.$

Задавшись полярностью зарядов на обкладках конденсаторов, составим систему уравнений:

$\begin{array}{l}-Q_1+Q_2+Q_3=0;\\ U=U_{C1}+U_{C2}=\frac{Q_1}{C_1}+\frac{Q_2}{C_2};\\ I\cdot r_1=U_{C1}+U_{C3}=\frac{Q_1}{C_1}+\frac{Q_3}{C_3},\end{array}$

или

$\begin{array}{l}{Q}_1=Q_2+Q_3;\\ 45=\frac{Q_1}{6\cdot {10}^{-6}}+\frac{Q_2}{2\cdot {10}^{-6}};\\ 25=\frac{Q_1}{6\cdot {10}^{-6}}+\frac{Q_3}{3\cdot {10}^{-6}}.\end{array}$

Решив эту систему уравнений, найдем, что

Q₁ = 90 мкКл; Q₂ = 60 мкКл; Q₃ = 30 мкКл.

последовательное соединение конденсаторов, параллельное соединение конденсаторов, Расчет цепи конденсаторов, Конденсатор в цепи постоянного тока, Цепи с конденсаторами

Комментарии